Номер 190, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 190, страница 46.

Условие.

190. Докажите тождество:

1) $\frac{16}{(a-2)^4} : \left( \frac{1}{(a-2)^2} - \frac{2}{a^2 - 4} + \frac{1}{(a+2)^2} \right) - \frac{8a}{(a-2)^2} = 1;$

2) $\frac{a+11}{a+9} - \left( \frac{a+5}{a^2 - 81} + \frac{a+7}{a^2 - 18a + 81} \right) : \left( \frac{a+3}{a-9} \right)^2 = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках.

$\frac{1}{(a-2)^2} - \frac{2}{a^2-4} + \frac{1}{(a+2)^2}$

Разложим знаменатель средней дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2-4=(a-2)(a+2)$.

$\frac{1}{(a-2)^2} - \frac{2}{(a-2)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)^2}$

Это выражение является полным квадратом разности $\left(\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a+2}\right)^2$. Упростим выражение внутри скобок, приведя дроби к общему знаменателю $(a-2)(a+2)$:

$\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a+2} = \frac{(a+2) - (a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2-a+2}{(a-2)(a+2)} = \frac{4}{(a-2)(a+2)}$

Теперь возведем результат в квадрат:

$\left(\frac{4}{(a-2)(a+2)}\right)^2 = \frac{16}{(a-2)^2(a+2)^2}$

Подставим это в исходное выражение и выполним деление:

$\frac{16}{(a-2)^4} : \frac{16}{(a-2)^2(a+2)^2} = \frac{16}{(a-2)^4} \cdot \frac{(a-2)^2(a+2)^2}{16} = \frac{(a+2)^2}{(a-2)^2}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{(a+2)^2}{(a-2)^2} - \frac{8a}{(a-2)^2} = \frac{(a+2)^2 - 8a}{(a-2)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2+4a+4 - 8a}{(a-2)^2} = \frac{a^2-4a+4}{(a-2)^2}$

Числитель является полным квадратом $(a-2)^2$:

$\frac{(a-2)^2}{(a-2)^2} = 1$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано при условии, что $a \ne 2$ и $a \ne -2$.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Сначала упростим выражение в первых скобках.

$\frac{a+5}{a^2-81} + \frac{a+7}{a^2-18a+81}$

Разложим знаменатели на множители. $a^2-81 = (a-9)(a+9)$ (разность квадратов) и $a^2-18a+81 = (a-9)^2$ (полный квадрат).

$\frac{a+5}{(a-9)(a+9)} + \frac{a+7}{(a-9)^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-9)^2(a+9)$:

$\frac{(a+5)(a-9)}{(a-9)^2(a+9)} + \frac{(a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)} = \frac{(a+5)(a-9) + (a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(a^2 - 9a + 5a - 45) + (a^2 + 9a + 7a + 63)}{(a-9)^2(a+9)} = \frac{a^2 - 4a - 45 + a^2 + 16a + 63}{(a-9)^2(a+9)} = \frac{2a^2 + 12a + 18}{(a-9)^2(a+9)}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 и свернем полный квадрат:

$\frac{2(a^2 + 6a + 9)}{(a-9)^2(a+9)} = \frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}$

Теперь выполним деление. Сначала преобразуем делитель:

$\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2 = \frac{(a+3)^2}{(a-9)^2}$

Выполняем деление:

$\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)} : \frac{(a+3)^2}{(a-9)^2} = \frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)} \cdot \frac{(a-9)^2}{(a+3)^2} = \frac{2}{a+9}$

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{a+11}{a+9} - \frac{2}{a+9} = \frac{a+11-2}{a+9} = \frac{a+9}{a+9} = 1$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано при условии, что $a \ne 9$, $a \ne -9$ и $a \ne -3$.
Ответ: Тождество доказано.