Номер 183, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Глава 1. Рациональные выражения - номер 183, страница 45.
№183 (с. 45)
Условие. №183 (с. 45)
скриншот условия

183. Докажите тождество:
1) $\left(\frac{b}{a^2 - ab} - \frac{2}{a - b} - \frac{a}{b^2 - ab}\right) : \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b};$
2) $\frac{(a - b)^2}{a} \cdot \left(\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}\right) + \frac{3a + b}{a + b} = 3.$
Решение 1. №183 (с. 45)


Решение 2. №183 (с. 45)

Решение 3. №183 (с. 45)

Решение 4. №183 (с. 45)

Решение 5. №183 (с. 45)

Решение 6. №183 (с. 45)

Решение 7. №183 (с. 45)

Решение 8. №183 (с. 45)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним действия в скобках: $\frac{b}{a^2 - ab} - \frac{2}{a-b} - \frac{a}{b^2 - ab}$.
Разложим знаменатели на множители:
$a^2 - ab = a(a-b)$
$b^2 - ab = b(b-a) = -b(a-b)$
Подставим разложенные знаменатели в выражение:
$\frac{b}{a(a-b)} - \frac{2}{a-b} - \frac{a}{-b(a-b)} = \frac{b}{a(a-b)} - \frac{2}{a-b} + \frac{a}{b(a-b)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $ab(a-b)$:
$\frac{b \cdot b}{ab(a-b)} - \frac{2 \cdot ab}{ab(a-b)} + \frac{a \cdot a}{ab(a-b)} = \frac{b^2 - 2ab + a^2}{ab(a-b)}$
Числитель $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности $(a-b)^2$.
$\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)}$
Сократим дробь на $(a-b)$:
$\frac{a-b}{ab}$
Теперь выполним деление:
$(\frac{a-b}{ab}) : \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{a-b}{ab} \cdot \frac{4ab}{a^2 - b^2}$
Разложим $a^2-b^2$ по формуле разности квадратов как $(a-b)(a+b)$ и сократим дробь:
$\frac{\cancel{a-b}}{\cancel{ab}} \cdot \frac{4\cancel{ab}}{(\cancel{a-b})(a+b)} = \frac{4}{a+b}$
В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Выполним действия по порядку.
Сначала упростим выражение в скобках: $\frac{a}{(a-b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}$.
Разложим второй знаменатель на множители: $b^2 - a^2 = -(a^2-b^2) = -(a-b)(a+b)$.
$\frac{a}{(a-b)^2} - \frac{a}{(a-b)(a+b)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)^2(a+b)$:
$\frac{a(a+b)}{(a-b)^2(a+b)} - \frac{a(a-b)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{a(a+b) - a(a-b)}{(a-b)^2(a+b)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{a^2 + ab - (a^2 - ab)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{a^2 + ab - a^2 + ab}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{2ab}{(a-b)^2(a+b)}$
Далее выполним умножение:
$\frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{2ab}{(a-b)^2(a+b)}$
Сократим общие множители $(a-b)^2$ и $a$:
$\frac{\cancel{(a-b)^2}}{\cancel{a}} \cdot \frac{2\cancel{a}b}{\cancel{(a-b)^2}(a+b)} = \frac{2b}{a+b}$
Наконец, выполним сложение:
$\frac{2b}{a+b} + \frac{3a+b}{a+b}$
Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{2b + 3a + b}{a+b} = \frac{3a + 3b}{a+b}$
Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:
$\frac{3(a+b)}{a+b} = 3$
В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 183 расположенного на странице 45 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №183 (с. 45), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.