Номер 183, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 183, страница 45.

Условие.

183. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{b}{a^2 - ab} - \frac{2}{a - b} - \frac{a}{b^2 - ab}\right) : \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b};$

2) $\frac{(a - b)^2}{a} \cdot \left(\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}\right) + \frac{3a + b}{a + b} = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним действия в скобках: $\frac{b}{a^2 - ab} - \frac{2}{a-b} - \frac{a}{b^2 - ab}$.

Разложим знаменатели на множители:

$a^2 - ab = a(a-b)$

$b^2 - ab = b(b-a) = -b(a-b)$

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$\frac{b}{a(a-b)} - \frac{2}{a-b} - \frac{a}{-b(a-b)} = \frac{b}{a(a-b)} - \frac{2}{a-b} + \frac{a}{b(a-b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab(a-b)$:

$\frac{b \cdot b}{ab(a-b)} - \frac{2 \cdot ab}{ab(a-b)} + \frac{a \cdot a}{ab(a-b)} = \frac{b^2 - 2ab + a^2}{ab(a-b)}$

Числитель $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности $(a-b)^2$.

$\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)}$

Сократим дробь на $(a-b)$:

$\frac{a-b}{ab}$

Теперь выполним деление:

$(\frac{a-b}{ab}) : \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{a-b}{ab} \cdot \frac{4ab}{a^2 - b^2}$

Разложим $a^2-b^2$ по формуле разности квадратов как $(a-b)(a+b)$ и сократим дробь:

$\frac{\cancel{a-b}}{\cancel{ab}} \cdot \frac{4\cancel{ab}}{(\cancel{a-b})(a+b)} = \frac{4}{a+b}$

В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Выполним действия по порядку.

Сначала упростим выражение в скобках: $\frac{a}{(a-b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}$.

Разложим второй знаменатель на множители: $b^2 - a^2 = -(a^2-b^2) = -(a-b)(a+b)$.

$\frac{a}{(a-b)^2} - \frac{a}{(a-b)(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)^2(a+b)$:

$\frac{a(a+b)}{(a-b)^2(a+b)} - \frac{a(a-b)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{a(a+b) - a(a-b)}{(a-b)^2(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2 + ab - (a^2 - ab)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{a^2 + ab - a^2 + ab}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{2ab}{(a-b)^2(a+b)}$

Далее выполним умножение:

$\frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{2ab}{(a-b)^2(a+b)}$

Сократим общие множители $(a-b)^2$ и $a$:

$\frac{\cancel{(a-b)^2}}{\cancel{a}} \cdot \frac{2\cancel{a}b}{\cancel{(a-b)^2}(a+b)} = \frac{2b}{a+b}$

Наконец, выполним сложение:

$\frac{2b}{a+b} + \frac{3a+b}{a+b}$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{2b + 3a + b}{a+b} = \frac{3a + 3b}{a+b}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:

$\frac{3(a+b)}{a+b} = 3$

В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.