Номер 187, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 187, страница 46.

Условие.

187. Упростите выражение:

1) $\frac{\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b} - \frac{a-b}{a}}$

2) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a+1}}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $ \frac{\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b} - \frac{a-b}{a}} $ необходимо последовательно выполнить действия в числителе и знаменателе, а затем разделить полученные результаты.

Сначала упростим числитель большой дроби: $ \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} $.

Приводим дроби к общему знаменателю $ a(a+b) $:

$ \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} = \frac{a(a-b) + b(a+b)}{a(a+b)} $

Раскрываем скобки в числителе полученной дроби:

$ \frac{a^2 - ab + ab + b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)} $

Теперь упростим знаменатель большой дроби: $ \frac{a}{a+b} - \frac{a-b}{a} $.

Также приводим дроби к общему знаменателю $ a(a+b) $:

$ \frac{a}{a+b} - \frac{a-b}{a} = \frac{a \cdot a - (a-b)(a+b)}{a(a+b)} $

Раскрываем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ \frac{a^2 - (a^2 - b^2)}{a(a+b)} = \frac{a^2 - a^2 + b^2}{a(a+b)} = \frac{b^2}{a(a+b)} $

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{\frac{a^2 + b^2}{a(a+b)}}{\frac{b^2}{a(a+b)}} = \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{b^2} $

Сокращаем общий множитель $ a(a+b) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{a^2 + b^2}{b^2} $

Ответ: $ \frac{a^2+b^2}{b^2} $

2) Для упрощения выражения $ \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a+1}}} $ будем выполнять действия последовательно, двигаясь от самой внутренней дроби к внешней.

Шаг 1: Упростим самый нижний знаменатель $ 1 - \frac{1}{a+1} $.

$ 1 - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1-1}{a+1} = \frac{a}{a+1} $

Шаг 2: Подставим результат в выражение. Оно примет вид:

$ \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a}{a+1}}} $

Упростим дробь $ \frac{1}{\frac{a}{a+1}} $, которая является обратной к $ \frac{a}{a+1} $:

$ \frac{1}{\frac{a}{a+1}} = \frac{a+1}{a} $

Теперь выражение выглядит так: $ \frac{1}{1 - \frac{a+1}{a}} $.

Шаг 3: Упростим новый знаменатель $ 1 - \frac{a+1}{a} $.

$ 1 - \frac{a+1}{a} = \frac{a}{a} - \frac{a+1}{a} = \frac{a - (a+1)}{a} = \frac{a-a-1}{a} = \frac{-1}{a} $

Шаг 4: Подставим результат в выражение.

$ \frac{1}{\frac{-1}{a}} $

Это выражение равно обратной дроби к $ \frac{-1}{a} $, то есть:

$ \frac{1}{\frac{-1}{a}} = -a $

Ответ: $ -a $