Номер 188, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Глава 1. Рациональные выражения - номер 188, страница 46.

Условие.

188. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{a^2}{b^3 - ab^2} + \frac{a - b}{b^2} - \frac{1}{b}\right) : \left(\frac{a + b}{b - a} - \frac{b - a}{a + b} + \frac{6a^2}{a^2 - b^2}\right);$

2) $\left(\frac{a + 2}{4a^3 - 4a^2 + a} - \frac{2 - a}{1 - 8a^3} \cdot \frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}\right) : \left(\frac{1}{1 - 2a}\right)^2 - \frac{8a - 1}{2a^2 + a}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(\frac{a^2}{b^3-ab^2} + \frac{a-b}{b^2} - \frac{1}{b}) : (\frac{a+b}{b-a} - \frac{b-a}{a+b} + \frac{6a^2}{a^2-b^2})$

Решим задачу по действиям, сначала упростив выражения в каждой из скобок.

Действие 1: Упрощение первого выражения в скобках.

$\frac{a^2}{b^3-ab^2} + \frac{a-b}{b^2} - \frac{1}{b}$

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:
$b^3-ab^2 = b^2(b-a)$
Общий знаменатель: $b^2(b-a)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{a^2}{b^2(b-a)} + \frac{(a-b)(b-a)}{b^2(b-a)} - \frac{1 \cdot b(b-a)}{b^2(b-a)}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{a^2 + (a-b)(b-a) - b(b-a)}{b^2(b-a)} = \frac{a^2 - (b-a)^2 - (b^2-ab)}{b^2(b-a)} = \frac{a^2 - (b^2-2ab+a^2) - b^2+ab}{b^2(b-a)} = \frac{a^2 - b^2 + 2ab - a^2 - b^2 + ab}{b^2(b-a)} = \frac{3ab - 2b^2}{b^2(b-a)}$

Вынесем общий множитель $b$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{b(3a-2b)}{b^2(b-a)} = \frac{3a-2b}{b(b-a)}$

Действие 2: Упрощение второго выражения в скобках.

$\frac{a+b}{b-a} - \frac{b-a}{a+b} + \frac{6a^2}{a^2-b^2}$

Разложим знаменатели на множители, учитывая, что $b-a = -(a-b)$ и $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Общий знаменатель: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{-(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{(b-a)(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{6a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{-(a+b)^2 - (-(a-b))(a-b) + 6a^2}{a^2-b^2} = \frac{-(a+b)^2 + (a-b)^2 + 6a^2}{a^2-b^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{-(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) + 6a^2}{a^2-b^2} = \frac{-a^2-2ab-b^2 + a^2-2ab+b^2 + 6a^2}{a^2-b^2} = \frac{6a^2 - 4ab}{a^2-b^2}$

Вынесем общий множитель в числителе:

$\frac{2a(3a-2b)}{(a-b)(a+b)}$

Действие 3: Деление результатов.

$(\frac{3a-2b}{b(b-a)}) : (\frac{2a(3a-2b)}{(a-b)(a+b)})$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{3a-2b}{b(b-a)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{2a(3a-2b)}$

Так как $b-a = -(a-b)$, преобразуем выражение:

$\frac{3a-2b}{-b(a-b)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{2a(3a-2b)}$

Сократим одинаковые множители $(3a-2b)$ и $(a-b)$:

$\frac{1}{-b} \cdot \frac{a+b}{2a} = -\frac{a+b}{2ab}$

Ответ: $-\frac{a+b}{2ab}$

2) $(\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a} - \frac{2-a}{1-8a^3} \cdot \frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}) : (\frac{1}{1-2a})^2 - \frac{8a-1}{2a^2+a}$

Упростим выражение по действиям.

1. Выполним умножение в скобках:

$\frac{2-a}{1-8a^3} \cdot \frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности кубов $1-8a^3 = (1-2a)(1+2a+4a^2)$ и вынесение общего множителя $2a^2+a = a(2a+1)$:

$\frac{2-a}{(1-2a)(1+2a+4a^2)} \cdot \frac{4a^2+2a+1}{a(2a+1)}$

Сократим общий множитель $(4a^2+2a+1)$:

$\frac{2-a}{(1-2a)a(2a+1)} = \frac{2-a}{a(1-4a^2)}$

2. Выполним вычитание в скобках:

$\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a} - \frac{2-a}{a(1-4a^2)}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $4a^3-4a^2+a = a(4a^2-4a+1) = a(2a-1)^2 = a(1-2a)^2$.

Получаем выражение:

$\frac{a+2}{a(1-2a)^2} - \frac{2-a}{a(1-2a)(1+2a)}$

Общий знаменатель: $a(1-2a)^2(1+2a)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{(a+2)(1+2a)}{a(1-2a)^2(1+2a)} - \frac{(2-a)(1-2a)}{a(1-2a)^2(1+2a)} = \frac{(a+2)(1+2a) - (2-a)(1-2a)}{a(1-2a)^2(1+2a)}$

Раскроем скобки в числителе:
$(a+2)(1+2a) = a+2a^2+2+4a = 2a^2+5a+2$
$(2-a)(1-2a) = 2-4a-a+2a^2 = 2a^2-5a+2$

Подставим в числитель и упростим:

$\frac{(2a^2+5a+2) - (2a^2-5a+2)}{a(1-2a)^2(1+2a)} = \frac{2a^2+5a+2 - 2a^2+5a-2}{a(1-2a)^2(1+2a)} = \frac{10a}{a(1-2a)^2(1+2a)} = \frac{10}{(1-2a)^2(1+2a)}$

3. Упростим делитель:

$(\frac{1}{1-2a})^2 = \frac{1}{(1-2a)^2}$

4. Выполним деление:

$\frac{10}{(1-2a)^2(1+2a)} : \frac{1}{(1-2a)^2} = \frac{10}{(1-2a)^2(1+2a)} \cdot \frac{(1-2a)^2}{1} = \frac{10}{1+2a}$

5. Выполним последнее вычитание:

$\frac{10}{1+2a} - \frac{8a-1}{2a^2+a}$

Разложим знаменатель второй дроби: $2a^2+a = a(2a+1)$. Общий знаменатель $a(2a+1)$.

$\frac{10 \cdot a}{a(2a+1)} - \frac{8a-1}{a(2a+1)} = \frac{10a - (8a-1)}{a(2a+1)} = \frac{10a - 8a + 1}{a(2a+1)} = \frac{2a+1}{a(2a+1)}$

Сократим дробь на $(2a+1)$:

$\frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$