Номер 185, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 185, страница 45.

Условие.

185. Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной:

1) $\frac{3x^2 - 27}{4x^2 + 2} \cdot \left(\frac{6x + 1}{x - 3} + \frac{6x - 1}{x + 3}\right);$

2) $\frac{3}{2a - 3} - \frac{8a^3 - 18a}{4a^2 + 9} \cdot \left(\frac{2a}{4a^2 - 12a + 9} - \frac{3}{4a^2 - 9}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Выполним действия по порядку.

Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(x-3)(x+3) = x^2 - 9$.

$ \frac{6x + 1}{x - 3} + \frac{6x - 1}{x + 3} = \frac{(6x + 1)(x + 3) + (6x - 1)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{(6x^2 + 18x + x + 3) + (6x^2 - 18x - x + 3)}{x^2 - 9} = \frac{12x^2 + 6}{x^2 - 9} = \frac{6(2x^2 + 1)}{x^2 - 9} $

Теперь упростим первый множитель, вынеся общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{3x^2 - 27}{4x^2 + 2} = \frac{3(x^2 - 9)}{2(2x^2 + 1)} $

Теперь перемножим полученные выражения:

$ \frac{3(x^2 - 9)}{2(2x^2 + 1)} \cdot \frac{6(2x^2 + 1)}{x^2 - 9} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x^2 - 9)$ и $(2x^2 + 1)$.

$ \frac{3 \cdot \cancel{(x^2 - 9)}}{2 \cdot \cancel{(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{6 \cdot \cancel{(2x^2 + 1)}}{\cancel{(x^2 - 9)}} = \frac{3 \cdot 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 $

Полученное значение 9 является константой и не зависит от значения переменной $x$. Область допустимых значений переменной: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Ответ: 9

2) Упростим данное выражение, соблюдая порядок действий. Сначала выполним вычитание в скобках, затем умножение и в конце вычитание.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

$ 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2 $
$ 4a^2 - 9 = (2a - 3)(2a + 3) $

$ \frac{2a}{4a^2 - 12a + 9} - \frac{3}{4a^2 - 9} = \frac{2a}{(2a - 3)^2} - \frac{3}{(2a - 3)(2a + 3)} $

Общий знаменатель: $(2a - 3)^2(2a + 3)$.

$ \frac{2a(2a + 3) - 3(2a - 3)}{(2a - 3)^2(2a + 3)} = \frac{4a^2 + 6a - 6a + 9}{(2a - 3)^2(2a + 3)} = \frac{4a^2 + 9}{(2a - 3)^2(2a + 3)} $

2. Теперь выполним умножение. Упростим множитель $ \frac{8a^3 - 18a}{4a^2 + 9} $:

$ \frac{8a^3 - 18a}{4a^2 + 9} = \frac{2a(4a^2 - 9)}{4a^2 + 9} = \frac{2a(2a - 3)(2a + 3)}{4a^2 + 9} $

Перемножим полученные дроби:

$ \frac{2a(2a - 3)(2a + 3)}{4a^2 + 9} \cdot \frac{4a^2 + 9}{(2a - 3)^2(2a + 3)} $

Сократим общие множители $(4a^2 + 9)$, $(2a + 3)$ и $(2a - 3)$:

$ \frac{2a \cdot \cancel{(2a - 3)} \cdot \cancel{(2a + 3)}}{\cancel{4a^2 + 9}} \cdot \frac{\cancel{4a^2 + 9}}{(2a - 3)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{(2a + 3)}} = \frac{2a}{2a - 3} $

3. Выполним последнее действие - вычитание:

$ \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a}{2a - 3} = \frac{3 - 2a}{2a - 3} = \frac{-(2a - 3)}{2a - 3} = -1 $

Полученное значение -1 является константой и не зависит от значения переменной $a$. Область допустимых значений переменной: $a \neq \frac{3}{2}$ и $a \neq -\frac{3}{2}$.

Ответ: -1