Номер 179, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 179, страница 44.

Условие.

179. Выполните действия:

1) $ \frac{b+4}{b^2-6b+9} : \frac{b^2-16}{2b-6} - \frac{2}{b-4}; $

2) $ (\frac{m-1}{m+1} - \frac{m+1}{m-1}) : \frac{4m}{m^2-1}; $

3) $ \frac{2x}{x^2-y^2} : (\frac{1}{x^2+2xy+y^2} - \frac{1}{y^2-x^2}); $

4) $ (\frac{2a-3}{a^2-4a+4} - \frac{a-1}{a^2-2a}) : \frac{a^2-2}{a^3-4a}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Решим выражение по действиям. Сначала выполним деление, а затем вычитание. Для этого разложим многочлены в дробях на множители, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

Знаменатель первой дроби: $b^2 - 6b + 9 = (b-3)^2$ (формула квадрата разности).

Числитель второй дроби: $b^2 - 16 = (b-4)(b+4)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $2b - 6 = 2(b-3)$ (вынесение общего множителя).

Теперь выполним первое действие — деление:

$\frac{b+4}{(b-3)^2} : \frac{(b-4)(b+4)}{2(b-3)}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{b+4}{(b-3)^2} \cdot \frac{2(b-3)}{(b-4)(b+4)}$

Сократим общие множители $(b+4)$ и $(b-3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{b+4}}{(b-3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{2(\cancel{b-3})}{(b-4)(\cancel{b+4})} = \frac{2}{b-3}$

Теперь выполним второе действие — вычитание:

$\frac{2}{b-3} - \frac{2}{b-4}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(b-3)(b-4)$:

$\frac{2(b-4)}{(b-3)(b-4)} - \frac{2(b-3)}{(b-3)(b-4)} = \frac{2(b-4) - 2(b-3)}{(b-3)(b-4)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2b - 8 - 2b + 6}{(b-3)(b-4)} = \frac{-2}{(b-3)(b-4)}$

Ответ: $\frac{-2}{(b-3)(b-4)}$

2)

Сначала выполним действие в скобках (вычитание), а затем деление.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(m+1)(m-1)$:

$\frac{m-1}{m+1} - \frac{m+1}{m-1} = \frac{(m-1)(m-1)}{(m+1)(m-1)} - \frac{(m+1)(m+1)}{(m+1)(m-1)} = \frac{(m-1)^2 - (m+1)^2}{(m+1)(m-1)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы. Знаменатель свернем по формуле разности квадратов:

$\frac{(m^2-2m+1) - (m^2+2m+1)}{m^2-1}$

Упростим числитель:

$\frac{m^2-2m+1 - m^2-2m-1}{m^2-1} = \frac{-4m}{m^2-1}$

Теперь выполним деление:

$\frac{-4m}{m^2-1} : \frac{4m}{m^2-1}$

Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$\frac{-4m}{m^2-1} \cdot \frac{m^2-1}{4m}$

Сократим одинаковые множители $4m$ и $(m^2-1)$:

$\frac{-\cancel{4m}}{\cancel{m^2-1}} \cdot \frac{\cancel{m^2-1}}{\cancel{4m}} = -1$

Ответ: $-1$

3)

Сначала выполним действие в скобках (вычитание). Для этого разложим знаменатели на множители.

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ (квадрат суммы).

$y^2 - x^2 = -(x^2-y^2) = -(x-y)(x+y)$ (разность квадратов).

Подставим разложенные выражения в скобки:

$\frac{1}{(x+y)^2} - \frac{1}{-(x-y)(x+y)} = \frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(x-y)(x+y)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y)^2$:

$\frac{1 \cdot (x-y)}{(x-y)(x+y)^2} + \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)^2} = \frac{x-y+x+y}{(x-y)(x+y)^2} = \frac{2x}{(x-y)(x+y)^2}$

Теперь выполним деление. Разложим знаменатель первой дроби $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$\frac{2x}{(x-y)(x+y)} : \frac{2x}{(x-y)(x+y)^2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{2x}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)^2}{2x}$

Сократим общие множители $2x$, $(x-y)$ и $(x+y)$:

$\frac{\cancel{2x}}{(\cancel{x-y})(\cancel{x+y})} \cdot \frac{(\cancel{x-y})(x+y)^{\cancel{2}}}{\cancel{2x}} = x+y$

Ответ: $x+y$

4)

Сначала выполним вычитание в скобках, предварительно разложив знаменатели на множители.

$a^2-4a+4 = (a-2)^2$ (квадрат разности).

$a^2-2a = a(a-2)$ (вынесение общего множителя).

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $a(a-2)^2$:

$\frac{2a-3}{(a-2)^2} - \frac{a-1}{a(a-2)} = \frac{(2a-3)a}{a(a-2)^2} - \frac{(a-1)(a-2)}{a(a-2)^2}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{a(2a-3) - (a-1)(a-2)}{a(a-2)^2} = \frac{(2a^2-3a) - (a^2-2a-a+2)}{a(a-2)^2} = \frac{2a^2-3a - (a^2-3a+2)}{a(a-2)^2}$

$\frac{2a^2-3a-a^2+3a-2}{a(a-2)^2} = \frac{a^2-2}{a(a-2)^2}$

Теперь выполним деление. Разложим знаменатель делителя на множители: $a^3-4a = a(a^2-4) = a(a-2)(a+2)$.

$\frac{a^2-2}{a(a-2)^2} : \frac{a^2-2}{a(a-2)(a+2)}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2-2}{a(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2-2}$

Сократим общие множители $(a^2-2)$, $a$ и $(a-2)$:

$\frac{\cancel{a^2-2}}{\cancel{a}(a-2)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{a}(\cancel{a-2})(a+2)}{\cancel{a^2-2}} = \frac{a+2}{a-2}$

Ответ: $\frac{a+2}{a-2}$