Номер 177, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Глава 1. Рациональные выражения - номер 177, страница 44.

Условие.

177. Упростите выражение:

1) $(x + \frac{x}{y}) : (x - \frac{x}{y});$

2) $(\frac{a}{b} + \frac{a+b}{a-b}) \cdot \frac{ab^2}{a^2 + b^2};$

3) $(\frac{m}{m-1} - 1) : \frac{m}{mn - n};$

4) $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot \frac{4ab}{a-b};$

5) $\frac{a}{b} - \frac{a^2 - b^2}{b^2} : \frac{a+b}{b};$

6) $\frac{7x}{x+2} - \frac{x-8}{3x+6} \cdot \frac{84}{x^2 - 8x};$

7) $(a - \frac{9a-9}{a+3}) : \frac{a^2 - 3a}{a+3};$

8) $(\frac{a}{a+2} - \frac{8}{a+8}) \cdot \frac{a^2 + 8a}{a-4};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\left(x + \frac{x}{y}\right) : \left(x - \frac{x}{y}\right)$

Сначала приведем выражения в скобках к общему знаменателю $y$.

$x + \frac{x}{y} = \frac{xy}{y} + \frac{x}{y} = \frac{xy + x}{y} = \frac{x(y+1)}{y}$

$x - \frac{x}{y} = \frac{xy}{y} - \frac{x}{y} = \frac{xy - x}{y} = \frac{x(y-1)}{y}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь.

$\frac{x(y+1)}{y} : \frac{x(y-1)}{y} = \frac{x(y+1)}{y} \cdot \frac{y}{x(y-1)}$

Сократим общие множители $x$ и $y$ в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{x}(y+1)}{\cancel{y}} \cdot \frac{\cancel{y}}{\cancel{x}(y-1)} = \frac{y+1}{y-1}$

Ответ: $\frac{y+1}{y-1}$

2) $\left(\frac{a}{b} + \frac{a+b}{a-b}\right) \cdot \frac{ab^2}{a^2+b^2}$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $b(a-b)$.

$\frac{a}{b} + \frac{a+b}{a-b} = \frac{a(a-b)}{b(a-b)} + \frac{b(a+b)}{b(a-b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{b(a-b)} = \frac{a^2+b^2}{b(a-b)}$

Теперь выполним умножение.

$\frac{a^2+b^2}{b(a-b)} \cdot \frac{ab^2}{a^2+b^2}$

Сократим общие множители $(a^2+b^2)$ и $b$.

$\frac{\cancel{a^2+b^2}}{\cancel{b}(a-b)} \cdot \frac{ab^{\cancel{2}}}{\cancel{a^2+b^2}} = \frac{ab}{a-b}$

Ответ: $\frac{ab}{a-b}$

3) $\left(\frac{m}{m-1} - 1\right) : \frac{m}{mn-n}$

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $m-1$.

$\frac{m}{m-1} - 1 = \frac{m}{m-1} - \frac{m-1}{m-1} = \frac{m-(m-1)}{m-1} = \frac{m-m+1}{m-1} = \frac{1}{m-1}$

Упростим делитель, вынеся общий множитель $n$ за скобки в знаменателе.

$\frac{m}{mn-n} = \frac{m}{n(m-1)}$

Выполним деление.

$\frac{1}{m-1} : \frac{m}{n(m-1)} = \frac{1}{m-1} \cdot \frac{n(m-1)}{m}$

Сократим общий множитель $(m-1)$.

$\frac{1}{\cancel{m-1}} \cdot \frac{n(\cancel{m-1})}{m} = \frac{n}{m}$

Ответ: $\frac{n}{m}$

4) $\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) \cdot \frac{4ab}{a-b}$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $ab$.

$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2-b^2}{ab}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$\frac{(a-b)(a+b)}{ab}$

Выполним умножение.

$\frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{4ab}{a-b}$

Сократим общие множители $(a-b)$ и $ab$.

$\frac{\cancel{(a-b)}(a+b)}{\cancel{ab}} \cdot \frac{4\cancel{ab}}{\cancel{a-b}} = 4(a+b)$

Ответ: $4(a+b)$

5) $\frac{a}{b} - \frac{a^2-b^2}{b^2} : \frac{a+b}{b}$

Согласно порядку действий, сначала выполним деление.

$\frac{a^2-b^2}{b^2} : \frac{a+b}{b} = \frac{a^2-b^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b)}{b^2} \cdot \frac{b}{a+b}$

Сократим общие множители $(a+b)$ и $b$.

$\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{b^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{b}}{\cancel{a+b}} = \frac{a-b}{b}$

Теперь выполним вычитание.

$\frac{a}{b} - \frac{a-b}{b} = \frac{a-(a-b)}{b} = \frac{a-a+b}{b} = \frac{b}{b} = 1$

Ответ: $1$

6) $\frac{7x}{x+2} - \frac{x-8}{3x+6} \cdot \frac{84}{x^2-8x}$

Сначала выполним умножение. Для этого разложим знаменатели на множители.

$\frac{x-8}{3(x+2)} \cdot \frac{84}{x(x-8)}$

Сократим общие множители $(x-8)$ и число 3.

$\frac{\cancel{x-8}}{\cancel{3}(x+2)} \cdot \frac{84^{28}}{x(\cancel{x-8})} = \frac{28}{x(x+2)}$

Теперь выполним вычитание. Общий знаменатель $x(x+2)$.

$\frac{7x}{x+2} - \frac{28}{x(x+2)} = \frac{7x \cdot x}{x(x+2)} - \frac{28}{x(x+2)} = \frac{7x^2-28}{x(x+2)}$

Вынесем в числителе общий множитель 7 за скобки и применим формулу разности квадратов.

$\frac{7(x^2-4)}{x(x+2)} = \frac{7(x-2)(x+2)}{x(x+2)}$

Сократим общий множитель $(x+2)$.

$\frac{7(x-2)\cancel{(x+2)}}{x\cancel{(x+2)}} = \frac{7(x-2)}{x}$

Ответ: $\frac{7(x-2)}{x}$

7) $\left(a - \frac{9a-9}{a+3}\right) : \frac{a^2-3a}{a+3}$

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $a+3$.

$a - \frac{9a-9}{a+3} = \frac{a(a+3)}{a+3} - \frac{9a-9}{a+3} = \frac{a^2+3a-(9a-9)}{a+3} = \frac{a^2-6a+9}{a+3}$

Числитель является полным квадратом: $a^2-6a+9=(a-3)^2$.

$\frac{(a-3)^2}{a+3}$

Разложим на множители делитель: $\frac{a^2-3a}{a+3} = \frac{a(a-3)}{a+3}$.

Выполним деление.

$\frac{(a-3)^2}{a+3} : \frac{a(a-3)}{a+3} = \frac{(a-3)^2}{a+3} \cdot \frac{a+3}{a(a-3)}$

Сократим общие множители $(a+3)$ и $(a-3)$.

$\frac{(a-3)^{\cancel{2}}}{\cancel{a+3}} \cdot \frac{\cancel{a+3}}{a(\cancel{a-3})} = \frac{a-3}{a}$

Ответ: $\frac{a-3}{a}$

8) $\left(\frac{a}{a+2} - \frac{8}{a+8}\right) \cdot \frac{a^2+8a}{a-4}$

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $(a+2)(a+8)$.

$\frac{a}{a+2} - \frac{8}{a+8} = \frac{a(a+8)}{(a+2)(a+8)} - \frac{8(a+2)}{(a+2)(a+8)} = \frac{a^2+8a-8a-16}{(a+2)(a+8)} = \frac{a^2-16}{(a+2)(a+8)}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $\frac{(a-4)(a+4)}{(a+2)(a+8)}$.

Разложим на множители второй сомножитель: $\frac{a^2+8a}{a-4} = \frac{a(a+8)}{a-4}$.

Выполним умножение.

$\frac{(a-4)(a+4)}{(a+2)(a+8)} \cdot \frac{a(a+8)}{a-4}$

Сократим общие множители $(a-4)$ и $(a+8)$.

$\frac{\cancel{(a-4)}(a+4)}{(a+2)\cancel{(a+8)}} \cdot \frac{a\cancel{(a+8)}}{\cancel{a-4}} = \frac{a(a+4)}{a+2}$

Ответ: $\frac{a(a+4)}{a+2}$