Номер 171, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 171, страница 40.

Условие.

171. Докажите, что уравнение $ \frac{2x+1}{3} - \frac{x-4}{2} = \frac{x+5}{6} $ не имеет корней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что данное уравнение не имеет корней, необходимо его решить. Если в процессе решения мы придем к неверному числовому равенству, это будет означать, что ни одно значение переменной $x$ не может удовлетворить исходному уравнению.

Исходное уравнение:

$\frac{2x+1}{3} - \frac{x-4}{2} = \frac{x+5}{6}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей. В данном случае знаменатели равны 3, 2 и 6. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел равно 6.

Умножим каждый член уравнения на 6:

$6 \cdot \left(\frac{2x+1}{3}\right) - 6 \cdot \left(\frac{x-4}{2}\right) = 6 \cdot \left(\frac{x+5}{6}\right)$

Сократим дроби, выполнив умножение:

$2(2x+1) - 3(x-4) = 1(x+5)$

Теперь раскроем скобки:

$4x + 2 - (3x - 12) = x + 5$

$4x + 2 - 3x + 12 = x + 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(4x - 3x) + (2 + 12) = x + 5$

$x + 14 = x + 5$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую:

$x - x = 5 - 14$

$0 \cdot x = -9$

$0 = -9$

В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство $0 = -9$. Это равенство является ложным при любом значении переменной $x$. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором исходное уравнение обратилось бы в верное равенство.

Ответ: данное уравнение не имеет корней, так как его решение приводит к неверному числовому равенству $0 = -9$.