Номер 174, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 174, страница 41.

Условие.

174. (Из учебника «Арифметика» Л. Ф. Магницкого1.) Двенадцать людей несут 12 хлебов. Каждый мужчина несёт по 2 хлеба, женщина — по $1/2$ хлеба, а ребёнок — по $1/4$ хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой старинной задачи введем переменные. Пусть:

• $м$ – количество мужчин,
• $ж$ – количество женщин,
• $д$ – количество детей.

По условию задачи мы знаем, что всего было 12 человек и они несли 12 хлебов. Это позволяет нам составить систему из двух уравнений:

1. Уравнение по количеству людей:
$м + ж + д = 12$

2. Уравнение по количеству хлеба:
$2м + \frac{1}{2}ж + \frac{1}{4}д = 12$

Поскольку количество людей может быть только целым и неотрицательным числом, мы будем искать решение в целых числах.

Решение

Сначала упростим второе уравнение, умножив все его части на 4, чтобы избавиться от дробей:

$4 \cdot (2м + \frac{1}{2}ж + \frac{1}{4}д) = 4 \cdot 12$

$8м + 2ж + д = 48$

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} м + ж + д = 12 \\ 8м + 2ж + д = 48 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $д$:

$(8м + 2ж + д) - (м + ж + д) = 48 - 12$

$7м + ж = 36$

Выразим $ж$ через $м$:

$ж = 36 - 7м$

Так как количество женщин $ж$ не может быть отрицательным ($ж \ge 0$), то $36 - 7м \ge 0$. Отсюда следует, что $7м \le 36$, а значит $м \le \frac{36}{7}$, то есть $м \le 5.14...$.

Поскольку $м$ — это целое неотрицательное число, возможные значения для $м$: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Проверим каждое из них:

• Если $м = 0$, то $ж = 36 - 7 \cdot 0 = 36$. Тогда $д = 12 - 0 - 36 = -24$. Это невозможно.
• Если $м = 1$, то $ж = 36 - 7 \cdot 1 = 29$. Тогда $д = 12 - 1 - 29 = -18$. Это невозможно.
• Если $м = 2$, то $ж = 36 - 7 \cdot 2 = 22$. Тогда $д = 12 - 2 - 22 = -12$. Это невозможно.
• Если $м = 3$, то $ж = 36 - 7 \cdot 3 = 15$. Тогда $д = 12 - 3 - 15 = -6$. Это невозможно.
• Если $м = 4$, то $ж = 36 - 7 \cdot 4 = 8$. Тогда $д = 12 - 4 - 8 = 0$. Это математически верное решение (4 мужчины, 8 женщин и 0 детей), но в контексте подобных старинных задач обычно подразумевается, что все упомянутые группы (включая детей) присутствуют.
• Если $м = 5$, то $ж = 36 - 7 \cdot 5 = 1$. Тогда $д = 12 - 5 - 1 = 6$. Все числа целые и положительные.

Таким образом, наиболее подходящее решение, соответствующее духу задачи, — это 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей. Проверим его:

Проверка количества людей: $5 + 1 + 6 = 12$. Верно.

Проверка количества хлеба: $5 \cdot 2 + 1 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{4} = 10 + 0.5 + 1.5 = 12$. Верно.

Ответ: было 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.