Номер 169, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Упражнения - номер 169, страница 40.

Условие.

169. Докажите тождество:

$\frac{a^2 + a}{2a - 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 - 36} = \frac{1}{6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части, то есть $1/6$.

Левая часть выражения:

$$ \frac{a^2 + a}{2a - 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 - 36} $$

Первым шагом заменим операцию деления на умножение на обратную (перевернутую) дробь:

$$ \frac{a^2 + a}{2a - 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} \cdot \frac{a^2 - 36}{9a^3 + 18a^2 + 9a} $$

Далее, разложим на множители каждый числитель и знаменатель:

В числителе первой дроби вынесем общий множитель $a$:
$a^2 + a = a(a + 1)$

В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $2$:
$2a - 12 = 2(a - 6)$

В числителе второй дроби вынесем общий множитель $6$:
$6a + 6 = 6(a + 1)$

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $2$:
$2a + 12 = 2(a + 6)$

Числитель третьей дроби разложим по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 36 = a^2 - 6^2 = (a - 6)(a + 6)$

В знаменателе третьей дроби сначала вынесем общий множитель $9a$, а затем применим формулу квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$:
$9a^3 + 18a^2 + 9a = 9a(a^2 + 2a + 1) = 9a(a + 1)^2$

Теперь подставим полученные разложения в наше выражение:

$$ \frac{a(a + 1)}{2(a - 6)} \cdot \frac{6(a + 1)}{2(a + 6)} \cdot \frac{(a - 6)(a + 6)}{9a(a + 1)^2} $$

Запишем все множители под одной дробной чертой:

$$ \frac{a \cdot (a + 1) \cdot 6 \cdot (a + 1) \cdot (a - 6) \cdot (a + 6)}{2 \cdot (a - 6) \cdot 2 \cdot (a + 6) \cdot 9a \cdot (a + 1)^2} $$

Сгруппируем и упростим множители в числителе и знаменателе:

$$ \frac{6 \cdot a \cdot (a+1)^2 \cdot (a-6) \cdot (a+6)}{36 \cdot a \cdot (a-6) \cdot (a+6) \cdot (a+1)^2} $$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $a$, $(a+1)^2$, $(a-6)$, и $(a+6)$. После сокращения получим:

$$ \frac{6}{36} $$

Сократим числовую дробь:

$$ \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$

Таким образом, левая часть тождества равна $1/6$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате преобразований левая часть выражения оказалась равна правой части.