Номер 169, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 169, страница 40.
№169 (с. 40)
Условие. №169 (с. 40)
скриншот условия

169. Докажите тождество:
$\frac{a^2 + a}{2a - 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 - 36} = \frac{1}{6}.$
Решение 1. №169 (с. 40)

Решение 2. №169 (с. 40)

Решение 3. №169 (с. 40)

Решение 4. №169 (с. 40)

Решение 5. №169 (с. 40)

Решение 6. №169 (с. 40)

Решение 7. №169 (с. 40)

Решение 8. №169 (с. 40)
Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части, то есть $1/6$.
Левая часть выражения:
$$ \frac{a^2 + a}{2a - 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 - 36} $$
Первым шагом заменим операцию деления на умножение на обратную (перевернутую) дробь:
$$ \frac{a^2 + a}{2a - 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} \cdot \frac{a^2 - 36}{9a^3 + 18a^2 + 9a} $$
Далее, разложим на множители каждый числитель и знаменатель:
В числителе первой дроби вынесем общий множитель $a$:
$a^2 + a = a(a + 1)$
В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $2$:
$2a - 12 = 2(a - 6)$
В числителе второй дроби вынесем общий множитель $6$:
$6a + 6 = 6(a + 1)$
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $2$:
$2a + 12 = 2(a + 6)$
Числитель третьей дроби разложим по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 36 = a^2 - 6^2 = (a - 6)(a + 6)$
В знаменателе третьей дроби сначала вынесем общий множитель $9a$, а затем применим формулу квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$:
$9a^3 + 18a^2 + 9a = 9a(a^2 + 2a + 1) = 9a(a + 1)^2$
Теперь подставим полученные разложения в наше выражение:
$$ \frac{a(a + 1)}{2(a - 6)} \cdot \frac{6(a + 1)}{2(a + 6)} \cdot \frac{(a - 6)(a + 6)}{9a(a + 1)^2} $$
Запишем все множители под одной дробной чертой:
$$ \frac{a \cdot (a + 1) \cdot 6 \cdot (a + 1) \cdot (a - 6) \cdot (a + 6)}{2 \cdot (a - 6) \cdot 2 \cdot (a + 6) \cdot 9a \cdot (a + 1)^2} $$
Сгруппируем и упростим множители в числителе и знаменателе:
$$ \frac{6 \cdot a \cdot (a+1)^2 \cdot (a-6) \cdot (a+6)}{36 \cdot a \cdot (a-6) \cdot (a+6) \cdot (a+1)^2} $$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $a$, $(a+1)^2$, $(a-6)$, и $(a+6)$. После сокращения получим:
$$ \frac{6}{36} $$
Сократим числовую дробь:
$$ \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$
Таким образом, левая часть тождества равна $1/6$, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано, так как в результате преобразований левая часть выражения оказалась равна правой части.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 169 расположенного на странице 40 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №169 (с. 40), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.