Номер 164, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Упражнения - номер 164, страница 40.

Условие.

164. Дано: $x^2 + \frac{16}{x^2} = 41$. Найдите значение выражения $x + \frac{4}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти значение выражения $x + \frac{4}{x}$, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Рассмотрим квадрат искомого выражения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае, $a = x$ и $b = \frac{4}{x}$.

Возведем выражение $x + \frac{4}{x}$ в квадрат:

$(x + \frac{4}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2$

Упростим средний член выражения:

$(x + \frac{4}{x})^2 = x^2 + 8 + \frac{16}{x^2}$

Теперь сгруппируем члены, чтобы использовать известное нам из условия значение:

$(x + \frac{4}{x})^2 = (x^2 + \frac{16}{x^2}) + 8$

По условию задачи дано, что $x^2 + \frac{16}{x^2} = 41$. Подставим это значение в полученное равенство:

$(x + \frac{4}{x})^2 = 41 + 8$

$(x + \frac{4}{x})^2 = 49$

Чтобы найти значение самого выражения $x + \frac{4}{x}$, необходимо извлечь квадратный корень из 49. Важно помнить, что уравнение $y^2 = 49$ имеет два решения: $y = 7$ и $y = -7$.

$x + \frac{4}{x} = \sqrt{49}$ или $x + \frac{4}{x} = -\sqrt{49}$

$x + \frac{4}{x} = 7$ или $x + \frac{4}{x} = -7$

Таким образом, выражение может принимать два возможных значения.

Ответ: $7$ или $-7$.