Номер 161, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 161, страница 40.

Условие.

161. Найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{b^2 - a^2}$, если $a = 2\frac{1}{3}$, $b = -\frac{3}{7}$;

2) $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 - 9b^2} : \frac{3a + 6b}{2a - 6b}$, если $a = 4$, $b = -5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сначала упростим данное выражение. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$\frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{b^2 - a^2} = \frac{1}{a^2 - ab} \cdot \frac{b^2 - a^2}{b}$

Разложим на множители числитель и знаменатель каждой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:

$a^2 - ab = a(a-b)$

$b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) = -(a-b)(a+b)$

Подставим разложенные выражения обратно в формулу:

$\frac{1}{a(a-b)} \cdot \frac{-(a-b)(a+b)}{b}$

Сократим общие множители $(a-b)$:

$\frac{1}{a} \cdot \frac{-(a+b)}{b} = -\frac{a+b}{ab}$

Теперь подставим числовые значения $a = 2\frac{1}{3}$ и $b = -\frac{3}{7}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$a = 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Подставим значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение:

$-\frac{a+b}{ab} = -\frac{\frac{7}{3} + (-\frac{3}{7})}{\frac{7}{3} \cdot (-\frac{3}{7})} = -\frac{\frac{7 \cdot 7 - 3 \cdot 3}{21}}{-1} = \frac{\frac{49 - 9}{21}}{1} = \frac{40}{21}$

Ответ: $\frac{40}{21}$

2) Сначала упростим выражение. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 - 9b^2} : \frac{3a + 6b}{2a - 6b} = \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 - 9b^2} \cdot \frac{2a - 6b}{3a + 6b}$

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:

$a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2$

$a^2 - 9b^2 = a^2 - (3b)^2 = (a-3b)(a+3b)$

$2a - 6b = 2(a-3b)$

$3a + 6b = 3(a+2b)$

Подставим разложенные выражения обратно:

$\frac{(a+2b)^2}{(a-3b)(a+3b)} \cdot \frac{2(a-3b)}{3(a+2b)}$

Сократим общие множители $(a+2b)$ и $(a-3b)$:

$\frac{a+2b}{a+3b} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2(a+2b)}{3(a+3b)}$

Теперь подставим числовые значения $a = 4$ и $b = -5$ в упрощенное выражение:

$\frac{2(4 + 2(-5))}{3(4 + 3(-5))} = \frac{2(4 - 10)}{3(4 - 15)} = \frac{2(-6)}{3(-11)} = \frac{-12}{-33} = \frac{12}{33}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{12}{33} = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$