Номер 158, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 158, страница 39.

Условие.

158. Выполните умножение и деление дробей:

1) $\frac{4 - a}{8a^3} \cdot \frac{12a^5}{a^2 - 16}$;

2) $\frac{4c - d}{c^2 + cd} \cdot \frac{2c^2 - 2d^2}{4c^2 - cd}$;

3) $\frac{b^2 - 6b + 9}{b^2 - 3b + 9} \cdot \frac{b^3 + 27}{5b - 15}$;

4) $\frac{a^3 - 16a}{3a^2b} \cdot \frac{12ab^2}{4a + 16}$;

5) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - b^2} \cdot \frac{7a - 7b}{a^2 - ab + b^2}$;

6) $\frac{x^2 - 9}{x + y} \cdot \frac{5x + 5y}{x^2 - 3x}$;

7) $\frac{m + 2n}{2 - 3m} : \frac{m^2 + 4mn + 4n^2}{3m^2 - 2m}$;

8) $\frac{a^3 + 8}{16 - a^4} : \frac{a^2 - 2a + 4}{a^2 + 4}$;

9) $\frac{x^2 - 12x + 36}{3x + 21} \cdot \frac{x^2 - 49}{4x - 24}$;

10) $\frac{3a + 15b}{a^2 - 81b^2} : \frac{4a + 20b}{a^2 - 18ab + 81b^2}$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \frac{4-a}{8a^3} \cdot \frac{12a^5}{a^2-16} $

Чтобы умножить дроби, сначала разложим их числители и знаменатели на множители.
Вынесем минус в числителе первой дроби: $ 4-a = -(a-4) $.
Знаменатель второй дроби — это разность квадратов: $ a^2-16 = (a-4)(a+4) $.
Получаем выражение:
$ \frac{-(a-4)}{8a^3} \cdot \frac{12a^5}{(a-4)(a+4)} $
Теперь сокращаем общие множители. Сокращаем $(a-4)$ в числителе и знаменателе. Сокращаем $12$ и $8$ на $4$, получаем $3$ и $2$. Сокращаем $a^5$ и $a^3$, получаем $a^2$ в числителе.
$ \frac{-1 \cdot 3 \cdot a^2}{2 \cdot (a+4)} = -\frac{3a^2}{2(a+4)} $
Ответ: $ -\frac{3a^2}{2(a+4)} $

---

2) $ \frac{4c-d}{c^2+cd} \cdot \frac{2c^2-2d^2}{4c^2-cd} $

Разложим числители и знаменатели на множители.
$ c^2+cd = c(c+d) $
$ 2c^2-2d^2 = 2(c^2-d^2) = 2(c-d)(c+d) $
$ 4c^2-cd = c(4c-d) $
Подставляем разложенные выражения в исходное:
$ \frac{4c-d}{c(c+d)} \cdot \frac{2(c-d)(c+d)}{c(4c-d)} $
Сокращаем общие множители $(4c-d)$ и $(c+d)$.
$ \frac{1}{c} \cdot \frac{2(c-d)}{c} = \frac{2(c-d)}{c^2} $
Ответ: $ \frac{2(c-d)}{c^2} $

---

3) $ \frac{b^2-6b+9}{b^2-3b+9} \cdot \frac{b^3+27}{5b-15} $

Разложим числители и знаменатели на множители.
Числитель первой дроби — это полный квадрат: $ b^2-6b+9 = (b-3)^2 $.
Числитель второй дроби — это сумма кубов: $ b^3+27 = b^3+3^3 = (b+3)(b^2-3b+9) $.
Знаменатель второй дроби: $ 5b-15 = 5(b-3) $.
Знаменатель первой дроби $b^2-3b+9$ является неполным квадратом разности и не раскладывается дальше.
Получаем:
$ \frac{(b-3)^2}{b^2-3b+9} \cdot \frac{(b+3)(b^2-3b+9)}{5(b-3)} $
Сокращаем общие множители $(b^2-3b+9)$ и $(b-3)$.
$ \frac{b-3}{1} \cdot \frac{b+3}{5} = \frac{(b-3)(b+3)}{5} = \frac{b^2-9}{5} $
Ответ: $ \frac{b^2-9}{5} $

---

4) $ \frac{a^3-16a}{3a^2b} \cdot \frac{12ab^2}{4a+16} $

Разложим на множители числители и знаменатели.
$ a^3-16a = a(a^2-16) = a(a-4)(a+4) $
$ 4a+16 = 4(a+4) $
Подставляем в выражение:
$ \frac{a(a-4)(a+4)}{3a^2b} \cdot \frac{12ab^2}{4(a+4)} $
Сокращаем общий множитель $(a+4)$. Также сокращаем числовые коэффициенты $12$ и $3 \cdot 4 = 12$.
$ \frac{a(a-4)}{3a^2b} \cdot \frac{12ab^2}{4} = \frac{12a^2b^2(a-4)}{12a^2b} $
Сокращаем $12$, $a^2$ и $b$.
$ b(a-4) $
Ответ: $ b(a-4) $

---

5) $ \frac{a^3+b^3}{a^2-b^2} \cdot \frac{7a-7b}{a^2-ab+b^2} $

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения.
$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $ (сумма кубов)
$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $ (разность квадратов)
$ 7a-7b = 7(a-b) $
Подставляем:
$ \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{7(a-b)}{a^2-ab+b^2} $
Сокращаем все возможные общие множители: $(a+b)$, $(a-b)$ и $(a^2-ab+b^2)$.
Остается только число $7$.
Ответ: $ 7 $

---

6) $ \frac{x^2-9}{x+y} : \frac{5x+5y}{x^2-3x} $

Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую.
$ \frac{x^2-9}{x+y} \cdot \frac{x^2-3x}{5x+5y} $
Теперь разложим на множители.
$ x^2-9 = (x-3)(x+3) $
$ x^2-3x = x(x-3) $
$ 5x+5y = 5(x+y) $
Подставляем:
$ \frac{(x-3)(x+3)}{x+y} \cdot \frac{x(x-3)}{5(x+y)} $
Общих множителей для сокращения нет. Объединяем числители и знаменатели.
$ \frac{x(x-3)(x-3)(x+3)}{5(x+y)(x+y)} = \frac{x(x-3)^2(x+3)}{5(x+y)^2} $
Ответ: $ \frac{x(x-3)^2(x+3)}{5(x+y)^2} $

---

7) $ \frac{m+2n}{2-3m} : \frac{m^2+4mn+4n^2}{3m^2-2m} $

Заменяем деление на умножение, перевернув вторую дробь.
$ \frac{m+2n}{2-3m} \cdot \frac{3m^2-2m}{m^2+4mn+4n^2} $
Разложим на множители.
$ 2-3m = -(3m-2) $
$ 3m^2-2m = m(3m-2) $
$ m^2+4mn+4n^2 = (m+2n)^2 $ (полный квадрат)
Подставляем:
$ \frac{m+2n}{-(3m-2)} \cdot \frac{m(3m-2)}{(m+2n)^2} $
Сокращаем общие множители $(3m-2)$ и $(m+2n)$.
$ \frac{1}{-1} \cdot \frac{m}{m+2n} = -\frac{m}{m+2n} $
Ответ: $ -\frac{m}{m+2n} $

---

8) $ \frac{a^3+8}{16-a^4} : \frac{a^2-2a+4}{a^2+4} $

Заменяем деление на умножение, перевернув вторую дробь.
$ \frac{a^3+8}{16-a^4} \cdot \frac{a^2+4}{a^2-2a+4} $
Разложим на множители.
$ a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4) $
$ 16-a^4 = (4-a^2)(4+a^2) = (2-a)(2+a)(a^2+4) $
Подставляем:
$ \frac{(a+2)(a^2-2a+4)}{(2-a)(a+2)(a^2+4)} \cdot \frac{a^2+4}{a^2-2a+4} $
Сокращаем общие множители $(a+2)$, $(a^2-2a+4)$ и $(a^2+4)$.
$ \frac{1}{2-a} $
Ответ: $ \frac{1}{2-a} $

---

9) $ \frac{x^2-12x+36}{3x+21} \cdot \frac{x^2-49}{4x-24} $

Разложим на множители все числители и знаменатели.
$ x^2-12x+36 = (x-6)^2 $
$ 3x+21 = 3(x+7) $
$ x^2-49 = (x-7)(x+7) $
$ 4x-24 = 4(x-6) $
Получаем выражение:
$ \frac{(x-6)^2}{3(x+7)} \cdot \frac{(x-7)(x+7)}{4(x-6)} $
Сокращаем общие множители $(x+7)$ и $(x-6)$.
$ \frac{x-6}{3} \cdot \frac{x-7}{4} = \frac{(x-6)(x-7)}{12} $
Ответ: $ \frac{(x-6)(x-7)}{12} $

---

10) $ \frac{3a+15b}{a^2-81b^2} : \frac{4a+20b}{a^2-18ab+81b^2} $

Заменяем деление на умножение, перевернув вторую дробь.
$ \frac{3a+15b}{a^2-81b^2} \cdot \frac{a^2-18ab+81b^2}{4a+20b} $
Разложим на множители.
$ 3a+15b = 3(a+5b) $
$ a^2-81b^2 = (a-9b)(a+9b) $
$ a^2-18ab+81b^2 = (a-9b)^2 $
$ 4a+20b = 4(a+5b) $
Подставляем в выражение:
$ \frac{3(a+5b)}{(a-9b)(a+9b)} \cdot \frac{(a-9b)^2}{4(a+5b)} $
Сокращаем общие множители $(a+5b)$ и $(a-9b)$.
$ \frac{3}{a+9b} \cdot \frac{a-9b}{4} = \frac{3(a-9b)}{4(a+9b)} $
Ответ: $ \frac{3(a-9b)}{4(a+9b)} $