Номер 152, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 152, страница 38.

Условие.

152. Выполните деление:

1) $\frac{5m - 2n}{10k} : \frac{5m - 2n}{10k^2}$;

2) $\frac{p + 3}{p^2 - 2p} : \frac{p + 3}{4p - 8}$;

3) $\frac{a^2 - b^2}{2ab} : \frac{a + b}{ab}$;

4) $\frac{a^2 - 16}{a - 3} : \frac{a + 4}{a - 3}$;

5) $\frac{y - 9}{y - 8} : \frac{y^2 - 81}{y^2 - 16y + 64}$;

6) $(x^2 - 49y^2) : \frac{x - 7y}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$ \frac{5m-2n}{10k} : \frac{5m-2n}{10k^2} = \frac{5m-2n}{10k} \cdot \frac{10k^2}{5m-2n} $

Запишем произведение под общей чертой и сократим общие множители $(5m-2n)$, $10$ и $k$. При этом мы предполагаем, что $k \neq 0$ и $5m-2n \neq 0$.

$ \frac{(5m-2n) \cdot 10k^2}{10k \cdot (5m-2n)} = \frac{\cancel{(5m-2n)} \cdot \cancel{10} \cdot k \cdot \cancel{k}}{\cancel{10} \cdot \cancel{k} \cdot \cancel{(5m-2n)}} = k $

Ответ: $k$

2) Применим правило деления дробей: умножим первую дробь на обратную ко второй.

$ \frac{p+3}{p^2-2p} : \frac{p+3}{4p-8} = \frac{p+3}{p^2-2p} \cdot \frac{4p-8}{p+3} $

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби:

$ p^2-2p = p(p-2) $

$ 4p-8 = 4(p-2) $

Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{p+3}{p(p-2)} \cdot \frac{4(p-2)}{p+3} = \frac{(p+3) \cdot 4(p-2)}{p(p-2)(p+3)} $

Сократим общие множители $(p+3)$ и $(p-2)$:

$ \frac{\cancel{(p+3)} \cdot 4 \cdot \cancel{(p-2)}}{p \cdot \cancel{(p-2)} \cdot \cancel{(p+3)}} = \frac{4}{p} $

Ответ: $ \frac{4}{p} $

3) Для деления дробей умножаем первую дробь на перевернутую вторую.

$ \frac{a^2-b^2}{2ab} : \frac{a+b}{ab} = \frac{a^2-b^2}{2ab} \cdot \frac{ab}{a+b} $

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \frac{(a-b)(a+b)}{2ab} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b)ab}{2ab(a+b)} $

Сократим общие множители $ab$ и $(a+b)$:

$ \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}\cancel{ab}}{2\cancel{ab}\cancel{(a+b)}} = \frac{a-b}{2} $

Ответ: $ \frac{a-b}{2} $

4) Применяем правило деления дробей.

$ \frac{a^2-16}{a-3} : \frac{a+4}{a-3} = \frac{a^2-16}{a-3} \cdot \frac{a-3}{a+4} $

Разложим числитель $a^2-16$ как разность квадратов $a^2-4^2=(a-4)(a+4)$:

$ \frac{(a-4)(a+4)}{a-3} \cdot \frac{a-3}{a+4} = \frac{(a-4)(a+4)(a-3)}{(a-3)(a+4)} $

Сократим общие множители $(a-3)$ и $(a+4)$:

$ \frac{(a-4)\cancel{(a+4)}\cancel{(a-3)}}{\cancel{(a-3)}\cancel{(a+4)}} = a-4 $

Ответ: $ a-4 $

5) Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй.

$ \frac{y-9}{y-8} : \frac{y^2-81}{y^2-16y+64} = \frac{y-9}{y-8} \cdot \frac{y^2-16y+64}{y^2-81} $

Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби. Числитель - это квадрат разности, а знаменатель - разность квадратов:

$ y^2-16y+64 = (y-8)^2 $

$ y^2-81 = (y-9)(y+9) $

Подставляем в выражение:

$ \frac{y-9}{y-8} \cdot \frac{(y-8)^2}{(y-9)(y+9)} = \frac{(y-9)(y-8)^2}{(y-8)(y-9)(y+9)} $

Сокращаем общие множители $(y-9)$ и $(y-8)$:

$ \frac{\cancel{(y-9)}(y-8)^{\cancel{2}}}{\cancel{(y-8)}\cancel{(y-9)}(y+9)} = \frac{y-8}{y+9} $

Ответ: $ \frac{y-8}{y+9} $

6) Представим выражение $(x^2-49y^2)$ в виде дроби со знаменателем 1 и применим правило деления.

$ (x^2-49y^2) : \frac{x-7y}{x} = \frac{x^2-49y^2}{1} \cdot \frac{x}{x-7y} $

Разложим двучлен $x^2-49y^2$ по формуле разности квадратов $x^2-(7y)^2=(x-7y)(x+7y)$:

$ \frac{(x-7y)(x+7y)}{1} \cdot \frac{x}{x-7y} = \frac{(x-7y)(x+7y)x}{x-7y} $

Сократим общий множитель $(x-7y)$:

$ \frac{\cancel{(x-7y)}(x+7y)x}{\cancel{x-7y}} = x(x+7y) $

Можно раскрыть скобки: $x(x+7y) = x^2+7xy$.

Ответ: $ x(x+7y) $