Номер 147, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 147, страница 37.

Условие.

147. Выполните умножение:

1) $\frac{3a + b}{4c} \cdot \frac{c}{3a + b}$;

2) $\frac{ab - b^2}{8} \cdot \frac{4a}{b^4}$;

3) $\frac{5x - 5y}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x - y}$;

4) $\frac{18b}{b^2 - 16} \cdot \frac{b + 4}{3b}$;

5) $\frac{6}{m^2 - 9n^2} \cdot (m - 3n)$;

6) $\frac{3c - 9}{9c^2 + 6c + 1} \cdot \frac{3c + 1}{c - 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.
$\frac{3a+b}{4c} \cdot \frac{c}{3a+b} = \frac{(3a+b) \cdot c}{4c \cdot (3a+b)}$
В числителе и знаменателе есть общие множители $(3a+b)$ и $c$. Сократим их:
$\frac{\cancel{(3a+b)} \cdot \cancel{c}}{4\cancel{c} \cdot \cancel{(3a+b)}} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

2) Перемножим числители и знаменатели данных дробей:
$\frac{ab-b^2}{8} \cdot \frac{4a}{b^4} = \frac{(ab-b^2) \cdot 4a}{8 \cdot b^4}$
В числителе вынесем общий множитель $b$ за скобки: $ab-b^2 = b(a-b)$.
$\frac{b(a-b) \cdot 4a}{8b^4}$
Теперь сократим дробь. Числитель и знаменатель делятся на $4$ и на $b$.
$\frac{\cancel{b}(a-b) \cdot \cancel{4}a}{\cancel{8}_2 \cdot \cancel{b^4}_{b^3}} = \frac{a(a-b)}{2b^3}$
Ответ: $\frac{a(a-b)}{2b^3}$

3) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:
$\frac{5x-5y}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x-y} = \frac{(5x-5y) \cdot x^3}{x^6 \cdot (x-y)}$
В числителе вынесем за скобки общий множитель 5: $5x-5y=5(x-y)$.
$\frac{5(x-y) \cdot x^3}{x^6 \cdot (x-y)}$
Сократим дробь на общие множители $(x-y)$ и $x^3$.
$\frac{5\cancel{(x-y)} \cdot \cancel{x^3}}{\cancel{x^6}_{x^3} \cdot \cancel{(x-y)}} = \frac{5}{x^3}$
Ответ: $\frac{5}{x^3}$

4) Умножим дроби:
$\frac{18b}{b^2-16} \cdot \frac{b+4}{3b} = \frac{18b \cdot (b+4)}{(b^2-16) \cdot 3b}$
Разложим знаменатель $b^2-16$ на множители по формуле разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$: $b^2-16 = (b-4)(b+4)$.
$\frac{18b \cdot (b+4)}{(b-4)(b+4) \cdot 3b}$
Сократим дробь на общие множители $3b$ (18b делится на 3b, получается 6) и $(b+4)$.
$\frac{\cancel{18b}^6 \cdot \cancel{(b+4)}}{(b-4)\cancel{(b+4)} \cdot \cancel{3b}} = \frac{6}{b-4}$
Ответ: $\frac{6}{b-4}$

5) Представим выражение $(m-3n)$ в виде дроби со знаменателем 1 и выполним умножение:
$\frac{6}{m^2-9n^2} \cdot (m-3n) = \frac{6}{m^2-9n^2} \cdot \frac{m-3n}{1} = \frac{6 \cdot (m-3n)}{m^2-9n^2}$
Знаменатель $m^2-9n^2$ является разностью квадратов: $m^2-(3n)^2=(m-3n)(m+3n)$.
$\frac{6 \cdot (m-3n)}{(m-3n)(m+3n)}$
Сократим дробь на общий множитель $(m-3n)$.
$\frac{6 \cdot \cancel{(m-3n)}}{\cancel{(m-3n)}(m+3n)} = \frac{6}{m+3n}$
Ответ: $\frac{6}{m+3n}$

6) Выполним умножение дробей:
$\frac{3c-9}{9c^2+6c+1} \cdot \frac{3c+1}{c-3} = \frac{(3c-9) \cdot (3c+1)}{(9c^2+6c+1) \cdot (c-3)}$
Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби. В числителе вынесем 3 за скобки: $3c-9=3(c-3)$. Знаменатель является полным квадратом суммы: $9c^2+6c+1=(3c)^2+2\cdot3c\cdot1+1^2=(3c+1)^2$.
$\frac{3(c-3) \cdot (3c+1)}{(3c+1)^2 \cdot (c-3)}$
Сократим дробь на общие множители $(c-3)$ и $(3c+1)$.
$\frac{3\cancel{(c-3)} \cdot \cancel{(3c+1)}}{\cancel{(3c+1)^2}_{(3c+1)} \cdot \cancel{(c-3)}} = \frac{3}{3c+1}$
Ответ: $\frac{3}{3c+1}$