Номер 149, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 149, страница 37.

Условие.

149. Выполните деление:

1) $\frac{8m}{n} : \frac{4m}{n}$;

2) $\frac{3b}{8} : b$;

3) $\frac{7c^2}{d} : \frac{c}{d^3}$;

4) $\frac{6a}{5b} : \frac{3a^2}{20b^2}$;

5) $-\frac{9a}{b^5} : \frac{18a^4}{b^3}$;

6) $a^2 : \frac{a}{b^2c}$;

7) $24a^3 : \frac{12a^2}{b}$;

8) $\frac{36a}{c^3} : (4a^2c).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$ \frac{8m}{n} : \frac{4m}{n} = \frac{8m}{n} \cdot \frac{n}{4m} $
Сократим общие множители в числителе и знаменателе. $m$ сокращается с $m$, $n$ сокращается с $n$. Числовой коэффициент $8$ делится на $4$.
$ \frac{8m \cdot n}{n \cdot 4m} = \frac{8}{4} = 2 $
Ответ: $2$.

2) Представим делитель $b$ в виде дроби $ \frac{b}{1} $. Затем применим правило деления дробей.
$ \frac{3b}{8} : b = \frac{3b}{8} : \frac{b}{1} = \frac{3b}{8} \cdot \frac{1}{b} $
Сократим общий множитель $b$ в числителе и знаменателе.
$ \frac{3b \cdot 1}{8 \cdot b} = \frac{3}{8} $
Ответ: $ \frac{3}{8} $.

3) Применим правило деления дробей: умножим первую дробь на обратную ко второй.
$ \frac{7c^2}{d} : \frac{c}{d^3} = \frac{7c^2}{d} \cdot \frac{d^3}{c} = \frac{7c^2 d^3}{dc} $
Сократим степени с одинаковыми основаниями: $ \frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c $ и $ \frac{d^3}{d} = d^{3-1} = d^2 $.
$ 7 \cdot c \cdot d^2 = 7cd^2 $
Ответ: $ 7cd^2 $.

4) Умножим первую дробь на дробь, обратную второй.
$ \frac{6a}{5b} : \frac{3a^2}{20b^2} = \frac{6a}{5b} \cdot \frac{20b^2}{3a^2} = \frac{6a \cdot 20b^2}{5b \cdot 3a^2} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{6}{3} = 2 $, $ \frac{20}{5} = 4 $.
Сократим переменные: $ \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} $, $ \frac{b^2}{b} = b $.
$ \frac{(6 \cdot 20) \cdot a \cdot b^2}{(5 \cdot 3) \cdot b \cdot a^2} = \frac{2 \cdot 4 \cdot b}{a} = \frac{8b}{a} $
Ответ: $ \frac{8b}{a} $.

5) При делении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным. Применим правило деления дробей.
$ -\frac{9a}{b^5} : \frac{18a^4}{b^3} = -\left(\frac{9a}{b^5} \cdot \frac{b^3}{18a^4}\right) = -\frac{9ab^3}{18a^4b^5} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{9}{18} = \frac{1}{2} $.
Сократим переменные: $ \frac{a}{a^4} = \frac{1}{a^3} $, $ \frac{b^3}{b^5} = \frac{1}{b^2} $.
$ -\frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot a^3 \cdot b^2} = -\frac{1}{2a^3b^2} $
Ответ: $ -\frac{1}{2a^3b^2} $.

6) Представим $a^2$ в виде дроби $ \frac{a^2}{1} $ и применим правило деления.
$ a^2 : \frac{a}{b^2c} = \frac{a^2}{1} \cdot \frac{b^2c}{a} = \frac{a^2b^2c}{a} $
Сократим $a^2$ и $a$.
$ a^{2-1}b^2c = ab^2c $
Ответ: $ ab^2c $.

7) Представим $24a^3$ в виде дроби $ \frac{24a^3}{1} $ и применим правило деления.
$ 24a^3 : \frac{12a^2}{b} = \frac{24a^3}{1} \cdot \frac{b}{12a^2} = \frac{24a^3b}{12a^2} $
Сократим числовые коэффициенты $ \frac{24}{12} = 2 $ и переменные $ \frac{a^3}{a^2} = a $.
$ 2ab $
Ответ: $ 2ab $.

8) Представим выражение $ (4a^2c) $ в виде дроби $ \frac{4a^2c}{1} $ и применим правило деления.
$ \frac{36a}{c^3} : (4a^2c) = \frac{36a}{c^3} : \frac{4a^2c}{1} = \frac{36a}{c^3} \cdot \frac{1}{4a^2c} = \frac{36a}{c^3 \cdot 4a^2c} $
Упростим знаменатель: $ c^3 \cdot c = c^4 $.
$ \frac{36a}{4a^2c^4} $
Сократим числовые коэффициенты $ \frac{36}{4} = 9 $ и переменные $ \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} $.
$ \frac{9}{ac^4} $
Ответ: $ \frac{9}{ac^4} $.