Номер 151, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 151, страница 38.

Условие.

151. Упростите выражение:

1) $\frac{a - b}{7a} : \frac{a - b}{7b}$;

2) $\frac{x^2 - y^2}{x^2} : \frac{6x + 6y}{x^5}$;

3) $\frac{c - 5}{c^2 - 4c} : \frac{c - 5}{5c - 20}$;

4) $\frac{x - y}{xy} : \frac{x^2 - y^2}{3xy}$;

5) $\frac{a^2 - 25}{a + 7} : \frac{a - 5}{a + 7}$;

6) $\frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2} : (a - 2)$;

7) $(p^2 - 16k^2) : \frac{p + 4k}{p}$;

8) $\frac{a^2 - ab}{a^2} : \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{a-b}{7a} : \frac{a-b}{7b} = \frac{a-b}{7a} \cdot \frac{7b}{a-b}$

Сокращаем общие множители $(a-b)$ и $7$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{a-b}}{\cancel{7}a} \cdot \frac{\cancel{7}b}{\cancel{a-b}} = \frac{b}{a}$

Ответ: $\frac{b}{a}$

2) Сначала разложим числитель первой дроби и числитель второй дроби на множители. Числитель первой дроби $x^2 - y^2$ - это разность квадратов, которая раскладывается как $(x-y)(x+y)$. В числителе второй дроби $6x+6y$ вынесем общий множитель $6$ за скобки: $6(x+y)$.

$\frac{x^2-y^2}{x^2} : \frac{6x+6y}{x^5} = \frac{(x-y)(x+y)}{x^2} : \frac{6(x+y)}{x^5}$

Теперь выполним деление, умножив первую дробь на перевернутую вторую:

$\frac{(x-y)(x+y)}{x^2} \cdot \frac{x^5}{6(x+y)}$

Сокращаем общие множители $(x+y)$ и степень $x$:

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x^2}} \cdot \frac{x^5}{6\cancel{(x+y)}} = \frac{(x-y)x^3}{6}$

Ответ: $\frac{x^3(x-y)}{6}$

3) Разложим на множители знаменатели обеих дробей. В знаменателе $c^2-4c$ вынесем $c$ за скобки: $c(c-4)$. В знаменателе $5c-20$ вынесем $5$ за скобки: $5(c-4)$.

$\frac{c-5}{c^2-4c} : \frac{c-5}{5c-20} = \frac{c-5}{c(c-4)} : \frac{c-5}{5(c-4)}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{c-5}{c(c-4)} \cdot \frac{5(c-4)}{c-5}$

Сокращаем одинаковые множители $(c-5)$ и $(c-4)$:

$\frac{\cancel{c-5}}{c\cancel{(c-4)}} \cdot \frac{5\cancel{(c-4)}}{\cancel{c-5}} = \frac{5}{c}$

Ответ: $\frac{5}{c}$

4) Разложим числитель второй дроби $x^2-y^2$ по формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y)$.

$\frac{x-y}{xy} : \frac{x^2-y^2}{3xy} = \frac{x-y}{xy} : \frac{(x-y)(x+y)}{3xy}$

Выполним деление, умножив на перевернутую дробь:

$\frac{x-y}{xy} \cdot \frac{3xy}{(x-y)(x+y)}$

Сократим общие множители $(x-y)$ и $xy$:

$\frac{\cancel{x-y}}{\cancel{xy}} \cdot \frac{3\cancel{xy}}{(\cancel{x-y})(x+y)} = \frac{3}{x+y}$

Ответ: $\frac{3}{x+y}$

5) Разложим числитель первой дроби $a^2-25$ по формуле разности квадратов: $(a-5)(a+5)$.

$\frac{a^2-25}{a+7} : \frac{a-5}{a+7} = \frac{(a-5)(a+5)}{a+7} : \frac{a-5}{a+7}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{(a-5)(a+5)}{a+7} \cdot \frac{a+7}{a-5}$

Сократим общие множители $(a-5)$ и $(a+7)$:

$\frac{(\cancel{a-5})(a+5)}{\cancel{a+7}} \cdot \frac{\cancel{a+7}}{\cancel{a-5}} = a+5$

Ответ: $a+5$

6) Разложим числитель дроби $a^2-4a+4$ по формуле квадрата разности: $(a-2)^2$. Выражение $(a-2)$ представим в виде дроби $\frac{a-2}{1}$.

$\frac{a^2-4a+4}{a+2} : (a-2) = \frac{(a-2)^2}{a+2} : \frac{a-2}{1}$

Выполним деление:

$\frac{(a-2)^2}{a+2} \cdot \frac{1}{a-2}$

Сократим общий множитель $(a-2)$:

$\frac{(a-2)^{\cancel{2}}}{a+2} \cdot \frac{1}{\cancel{a-2}} = \frac{a-2}{a+2}$

Ответ: $\frac{a-2}{a+2}$

7) Разложим выражение $p^2 - 16k^2$ на множители по формуле разности квадратов: $(p-4k)(p+4k)$. Представим его в виде дроби со знаменателем 1.

$(p^2-16k^2) : \frac{p+4k}{p} = \frac{(p-4k)(p+4k)}{1} : \frac{p+4k}{p}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{(p-4k)(p+4k)}{1} \cdot \frac{p}{p+4k}$

Сократим общий множитель $(p+4k)$:

$\frac{(p-4k)\cancel{(p+4k)}}{1} \cdot \frac{p}{\cancel{p+4k}} = p(p-4k)$

Ответ: $p(p-4k)$

8) Разложим на множители числители дробей. В числителе $a^2-ab$ вынесем $a$ за скобки: $a(a-b)$. Числитель $a^2-2ab+b^2$ свернем по формуле квадрата разности: $(a-b)^2$.

$\frac{a^2-ab}{a^2} : \frac{a^2-2ab+b^2}{ab} = \frac{a(a-b)}{a^2} : \frac{(a-b)^2}{ab}$

Выполним деление дробей:

$\frac{a(a-b)}{a^2} \cdot \frac{ab}{(a-b)^2}$

Сократим общие множители $a$ и $(a-b)$:

$\frac{\cancel{a}\cancel{(a-b)}}{a^{\cancel{2}}} \cdot \frac{ab}{(a-b)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{\cancel{a}b}{\cancel{a}(a-b)} = \frac{b}{a-b}$

Ответ: $\frac{b}{a-b}$