Номер 159, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 159, страница 39.

Условие.

159. Упростите выражение:

1) $\frac{7a^2}{a^2 - 25} \cdot \frac{5 - a}{a}$;

2) $\frac{a^3 + b^3}{a^3 - b^3} \cdot \frac{b - a}{b + a}$;

3) $\frac{a^4 - 1}{a^3 - a} \cdot \frac{a}{1 + a^2}$;

4) $\frac{a^2 - 8ab}{12b} : \frac{8b^2 - ab}{24a}$;

5) $\frac{5m^2 - 5n^2}{m^2 + n^2} : \frac{15n - 15m}{4m^2 + 4n^2}$;

6) $\frac{mn^2 - 36m}{m^3 - 8} : \frac{2n + 12}{6m - 12}$;

7) $\frac{a^4 - 1}{a^2 - a + 1} : \frac{a - 1}{a^3 + 1}$;

8) $\frac{4x^2 - 100}{6x} : (2x^2 - 20x + 50)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное выражение: $\frac{7a^2}{a^2-25} \cdot \frac{5-a}{a}$.
Разложим знаменатель $a^2-25$ по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. В числителе второй дроби вынесем знак минус за скобки: $5-a = -(a-5)$.
$\frac{7a^2}{(a-5)(a+5)} \cdot \frac{-(a-5)}{a}$
Сократим общие множители $a$ и $(a-5)$ в числителе и знаменателе.
$\frac{7a \cdot \cancel{a} \cdot (-(a-5))}{(a-5)(a+5) \cdot \cancel{a}} = \frac{7a \cdot (-( \cancel{a-5}))}{(\cancel{a-5})(a+5)} = -\frac{7a}{a+5}$
Ответ: $-\frac{7a}{a+5}$

2) Исходное выражение: $\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} \cdot \frac{b-a}{b+a}$.
Применим формулы суммы и разности кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Также учтем, что $b-a = -(a-b)$.
$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} \cdot \frac{-(a-b)}{a+b}$
Сократим общие множители $(a+b)$ и $(a-b)$.
$\frac{\cancel{(a+b)}(a^2-ab+b^2)}{\cancel{(a-b)}(a^2+ab+b^2)} \cdot \frac{-(\cancel{a-b})}{\cancel{a+b}} = -\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$
Ответ: $-\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$

3) Исходное выражение: $\frac{a^4-1}{a^3-a} \cdot \frac{a}{1+a^2}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:
$a^4-1 = (a^2-1)(a^2+1) = (a-1)(a+1)(a^2+1)$
$a^3-a = a(a^2-1) = a(a-1)(a+1)$
Подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{(a-1)(a+1)(a^2+1)}{a(a-1)(a+1)} \cdot \frac{a}{a^2+1}$
Сократим все общие множители: $a$, $(a-1)$, $(a+1)$, и $(a^2+1)$.
$\frac{\cancel{(a-1)}\cancel{(a+1)}\cancel{(a^2+1)}}{\cancel{a}\cancel{(a-1)}\cancel{(a+1)}} \cdot \frac{\cancel{a}}{\cancel{a^2+1}} = 1$
Ответ: $1$

4) Исходное выражение: $\frac{a^2-8ab}{12b} : \frac{8b^2-ab}{24a}$.
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2-8ab}{12b} \cdot \frac{24a}{8b^2-ab}$
Вынесем общие множители: $a(a-8b)$ и $b(8b-a)$.
$\frac{a(a-8b)}{12b} \cdot \frac{24a}{b(8b-a)}$
Так как $a-8b = -(8b-a)$, можем сократить эти множители. Также сократим $24$ и $12$.
$\frac{a(-(8b-a))}{12b} \cdot \frac{24a}{b(8b-a)} = \frac{-a \cdot \cancel{(8b-a)}}{\cancel{12}b} \cdot \frac{\cancel{24}^2a}{b \cdot \cancel{(8b-a)}} = \frac{-a \cdot 2a}{b \cdot b} = -\frac{2a^2}{b^2}$
Ответ: $-\frac{2a^2}{b^2}$

5) Исходное выражение: $\frac{5m^2-5n^2}{m^2+n^2} : \frac{15n-15m}{4m^2+4n^2}$.
Заменим деление на умножение на обратную дробь и вынесем общие множители:
$\frac{5(m^2-n^2)}{m^2+n^2} \cdot \frac{4(m^2+n^2)}{15(n-m)}$
Разложим $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$ и учтем, что $n-m=-(m-n)$.
$\frac{5(m-n)(m+n)}{m^2+n^2} \cdot \frac{4(m^2+n^2)}{-15(m-n)}$
Сократим общие множители $(m^2+n^2)$ и $(m-n)$, а также числовые коэффициенты.
$\frac{\cancel{5}(\cancel{m-n})(m+n)}{\cancel{m^2+n^2}} \cdot \frac{4(\cancel{m^2+n^2})}{-\cancel{15}_3(\cancel{m-n})} = \frac{m+n}{1} \cdot \frac{4}{-3} = -\frac{4(m+n)}{3}$
Ответ: $-\frac{4(m+n)}{3}$

6) Исходное выражение: $\frac{mn^2-36m}{m^3-8} : \frac{2n+12}{6m-12}$.
Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим на множители все части выражения:
$\frac{m(n^2-36)}{(m^3-8)} \cdot \frac{6m-12}{2n+12} = \frac{m(n-6)(n+6)}{(m-2)(m^2+2m+4)} \cdot \frac{6(m-2)}{2(n+6)}$
Сократим общие множители $(m-2)$ и $(n+6)$, а также числовые коэффициенты $6$ и $2$.
$\frac{m(n-6)(\cancel{n+6})}{(\cancel{m-2})(m^2+2m+4)} \cdot \frac{\cancel{6}^3(\cancel{m-2})}{\cancel{2}(\cancel{n+6})} = \frac{3m(n-6)}{m^2+2m+4}$
Ответ: $\frac{3m(n-6)}{m^2+2m+4}$

7) Исходное выражение: $\frac{a^4-1}{a^2-a+1} : \frac{a-1}{a^3+1}$.
Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим на множители:
$a^4-1 = (a^2-1)(a^2+1) = (a-1)(a+1)(a^2+1)$
$a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)$
$\frac{(a-1)(a+1)(a^2+1)}{a^2-a+1} \cdot \frac{(a+1)(a^2-a+1)}{a-1}$
Сократим общие множители $(a-1)$ и $(a^2-a+1)$.
$\frac{(\cancel{a-1})(a+1)(a^2+1)}{\cancel{a^2-a+1}} \cdot \frac{(a+1)(\cancel{a^2-a+1})}{\cancel{a-1}} = (a+1)(a^2+1)(a+1) = (a+1)^2(a^2+1)$
Ответ: $(a+1)^2(a^2+1)$

8) Исходное выражение: $\frac{4x^2-100}{6x} : (2x^2-20x+50)$.
Представим второе выражение в виде дроби $\frac{2x^2-20x+50}{1}$ и заменим деление на умножение на обратную дробь.
$\frac{4x^2-100}{6x} \cdot \frac{1}{2x^2-20x+50}$
Разложим на множители:
$4x^2-100 = 4(x^2-25) = 4(x-5)(x+5)$
$2x^2-20x+50 = 2(x^2-10x+25) = 2(x-5)^2$
$\frac{4(x-5)(x+5)}{6x} \cdot \frac{1}{2(x-5)^2}$
Сократим общие множители. Коэффициенты $\frac{4}{6 \cdot 2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Множитель $(x-5)$ сокращается один раз.
$\frac{\cancel{4}^2(x-5)(x+5)}{\cancel{6}_3x} \cdot \frac{1}{\cancel{2}(x-5)^2} = \frac{2(x-5)(x+5)}{3x \cdot 2(x-5)^2} = \frac{\cancel{2}(\cancel{x-5})(x+5)}{3x \cdot \cancel{2}(\cancel{x-5})(x-5)} = \frac{x+5}{3x(x-5)}$
Ответ: $\frac{x+5}{3x(x-5)}$