Номер 160, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Упражнения - номер 160, страница 39.

Условие.

160. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $\frac{a^2 - 81}{a^2 - 8a} : \frac{a - 9}{a^2 - 64}$, если $a = -4;$

2) $\frac{x}{4x^2 - 4y^2} : \frac{1}{6x + 6y}$, если $x = 4,2, y = -2,8;$

3) $(3a^2 - 18a + 27) : \frac{3a - 9}{4a}$, если $a = 0,5;$

4) $\frac{a^6 + a^5}{(3a - 3)^2} : \frac{a^5 + a^4}{9a^2 - 9a}$, если $a = 0,8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сначала упростим данное выражение. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:
$ \frac{a^2 - 81}{a^2 - 8a} : \frac{a - 9}{a^2 - 64} = \frac{a^2 - 81}{a^2 - 8a} \cdot \frac{a^2 - 64}{a - 9} $
Теперь разложим числители и знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:
$ a^2 - 81 = (a - 9)(a + 9) $
$ a^2 - 8a = a(a - 8) $
$ a^2 - 64 = (a - 8)(a + 8) $
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$ \frac{(a - 9)(a + 9)}{a(a - 8)} \cdot \frac{(a - 8)(a + 8)}{a - 9} $
Сократим одинаковые множители $(a - 9)$ и $(a - 8)$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{\cancel{(a - 9)}(a + 9)}{a\cancel{(a - 8)}} \cdot \frac{\cancel{(a - 8)}(a + 8)}{\cancel{a - 9}} = \frac{(a + 9)(a + 8)}{a} $
Теперь подставим значение $a = -4$ в упрощенное выражение:
$ \frac{(-4 + 9)(-4 + 8)}{-4} = \frac{5 \cdot 4}{-4} = \frac{20}{-4} = -5 $
Ответ: -5

2) Упростим выражение, заменив деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{x}{4x^2 - 4y^2} : \frac{1}{6x + 6y} = \frac{x}{4x^2 - 4y^2} \cdot \frac{6x + 6y}{1} $
Разложим знаменатель первой дроби и числитель второй дроби на множители:
$ 4x^2 - 4y^2 = 4(x^2 - y^2) = 4(x - y)(x + y) $
$ 6x + 6y = 6(x + y) $
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{x}{4(x - y)(x + y)} \cdot \frac{6(x + y)}{1} $
Сократим общие множители $(x + y)$, а также численные коэффициенты:
$ \frac{x}{4(x - y)\cancel{(x + y)}} \cdot 6\cancel{(x + y)} = \frac{6x}{4(x - y)} = \frac{3x}{2(x - y)} $
Подставим значения $x = 4,2$ и $y = -2,8$:
$ \frac{3 \cdot 4,2}{2(4,2 - (-2,8))} = \frac{12,6}{2(4,2 + 2,8)} = \frac{12,6}{2 \cdot 7} = \frac{12,6}{14} = 0,9 $
Ответ: 0,9

3) Представим выражение в виде деления дробей:
$ (3a^2 - 18a + 27) : \frac{3a - 9}{4a} = \frac{3a^2 - 18a + 27}{1} \cdot \frac{4a}{3a - 9} $
Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби. Для числителя вынесем общий множитель 3 и применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$ 3a^2 - 18a + 27 = 3(a^2 - 6a + 9) = 3(a - 3)^2 $
$ 3a - 9 = 3(a - 3) $
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{3(a - 3)^2}{1} \cdot \frac{4a}{3(a - 3)} $
Сократим общие множители $3$ и $(a - 3)$:
$ \frac{\cancel{3}(a - 3)^{\cancel{2}}}{1} \cdot \frac{4a}{\cancel{3}\cancel{(a - 3)}} = (a - 3) \cdot 4a = 4a(a - 3) $
Подставим значение $a = 0,5$:
$ 4 \cdot 0,5 \cdot (0,5 - 3) = 2 \cdot (-2,5) = -5 $
Ответ: -5

4) Упростим выражение, заменив деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{a^6 + a^5}{(3a - 3)^2} : \frac{a^5 + a^4}{9a^2 - 9a} = \frac{a^6 + a^5}{(3a - 3)^2} \cdot \frac{9a^2 - 9a}{a^5 + a^4} $
Разложим на множители числители и знаменатели всех дробей:
$ a^6 + a^5 = a^5(a + 1) $
$ (3a - 3)^2 = (3(a - 1))^2 = 9(a - 1)^2 $
$ 9a^2 - 9a = 9a(a - 1) $
$ a^5 + a^4 = a^4(a + 1) $
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{a^5(a + 1)}{9(a - 1)^2} \cdot \frac{9a(a - 1)}{a^4(a + 1)} $
Сократим общие множители $9$, $(a + 1)$, $(a - 1)$ и $a^4$:
$ \frac{a^{\cancel{5}}(\cancel{a + 1})}{\cancel{9}(a - 1)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{9}a(\cancel{a - 1})}{\cancel{a^4}(\cancel{a + 1})} = \frac{a \cdot a}{a - 1} = \frac{a^2}{a - 1} $
Подставим значение $a = 0,8$:
$ \frac{(0,8)^2}{0,8 - 1} = \frac{0,64}{-0,2} = -\frac{6,4}{2} = -3,2 $
Ответ: -3,2