Номер 163, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Упражнения - номер 163, страница 40.

Условие.

163. Известно, что $3x + \frac{1}{x} = -4$. Найдите значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$, имея известное равенство $3x + \frac{1}{x} = -4$, необходимо возвести обе части этого равенства в квадрат.

Запишем это:

$(3x + \frac{1}{x})^2 = (-4)^2$

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 3x$ и $b = \frac{1}{x}$.

$(3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 16$

Упростим полученное выражение. Обратите внимание, что $x$ в числителе и знаменателе среднего члена сокращаются ($x \ne 0$, так как он стоит в знаменателе в исходном выражении).

$9x^2 + 2 \cdot 3 \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^2} = 16$

$9x^2 + 6 + \frac{1}{x^2} = 16$

Мы получили уравнение, которое содержит искомое выражение $9x^2 + \frac{1}{x^2}$. Чтобы найти его значение, перенесем 6 из левой части в правую с противоположным знаком:

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 - 6$

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 10$

Таким образом, значение искомого выражения равно 10.

Ответ: 10