Номер 165, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Упражнения - номер 165, страница 40.

Условие.

165. Дано: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$. Найдите значение выражения $x - \frac{1}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи мы воспользуемся алгебраическими преобразованиями. Нам нужно найти значение выражения $x - \frac{1}{x}$, зная, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$.

Ключевая идея состоит в том, чтобы связать искомое выражение с данным через возведение в квадрат. Рассмотрим квадрат выражения $x - \frac{1}{x}$:

$(x - \frac{1}{x})^2$

Применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$.

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2$

Упростим средний член выражения:

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Теперь мы можем перегруппировать члены, чтобы использовать данное в условии равенство:

$(x - \frac{1}{x})^2 = (x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2$

Нам известно, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$. Подставим это значение в наше уравнение:

$(x - \frac{1}{x})^2 = 6 - 2$

$(x - \frac{1}{x})^2 = 4$

Теперь, чтобы найти значение $x - \frac{1}{x}$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что уравнение вида $y^2=a$ (где $a>0$) имеет два решения: $y = \sqrt{a}$ и $y = -\sqrt{a}$.

$x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{4}$

$x - \frac{1}{x} = \pm 2$

Следовательно, искомое выражение может принимать два значения.

Ответ: 2 или -2.