Номер 184, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 184, страница 45.

Условие.

184. Зависит ли значение выражения от значения входящей в него переменной:

1) $\left( \frac{a+3}{a^2-1} - \frac{1}{a^2+a} \right) : \frac{3a+3}{a^2-a}$

2) $\left( \frac{a}{a^2-49} - \frac{1}{a+7} \right) : \frac{7a}{a^2+14a+49} - \frac{2}{a-7}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы определить, зависит ли значение выражения от переменной, необходимо его упростить. Выполним действия по порядку.

Исходное выражение: $(\frac{a+3}{a^2-1} - \frac{1}{a^2+a}) : \frac{3a+3}{a^2-a}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:

$a^2-1 = (a-1)(a+1)$ (формула разности квадратов).

$a^2+a = a(a+1)$ (вынесение общего множителя).

Выражение в скобках принимает вид:

$\frac{a+3}{(a-1)(a+1)} - \frac{1}{a(a+1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a-1)(a+1)$:

$\frac{a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a(a+3) - (a-1)}{a(a-1)(a+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{a^2+3a-a+1}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+1}{a(a-1)(a+1)}$

Числитель $a^2+2a+1$ является полным квадратом: $(a+1)^2$.

Получаем: $\frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)}$.

Сократим дробь на $(a+1)$: $\frac{a+1}{a(a-1)}$.

Теперь выполним деление. Упростим делитель $\frac{3a+3}{a^2-a}$, разложив его числитель и знаменатель на множители:

$\frac{3(a+1)}{a(a-1)}$

Деление дробей заменяем на умножение на обратную дробь:

$\frac{a+1}{a(a-1)} : \frac{3(a+1)}{a(a-1)} = \frac{a+1}{a(a-1)} \cdot \frac{a(a-1)}{3(a+1)}$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе ($a$, $a-1$, $a+1$):

$\frac{\cancel{a+1}}{\cancel{a}(\cancel{a-1})} \cdot \frac{\cancel{a}(\cancel{a-1})}{3(\cancel{a+1})} = \frac{1}{3}$

Результат упрощения - число $\frac{1}{3}$, которое не содержит переменную $a$. Следовательно, значение выражения не зависит от значения переменной $a$ (при всех допустимых значениях $a$, которыми являются все числа, кроме $0, 1, -1$).

Ответ: Нет, значение выражения не зависит от переменной $a$.

2) Упростим данное выражение, чтобы определить, зависит ли его значение от переменной.

Исходное выражение: $(\frac{a}{a^2-49} - \frac{1}{a+7}) : \frac{7a}{a^2+14a+49} - \frac{2}{a-7}$.

Согласно порядку действий, сначала выполняем вычитание в скобках, затем деление, и в конце вычитание.

1. Выполним действие в скобках. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $a^2-49 = (a-7)(a+7)$.

$\frac{a}{(a-7)(a+7)} - \frac{1}{a+7}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-7)(a+7)$:

$\frac{a}{(a-7)(a+7)} - \frac{1 \cdot (a-7)}{(a-7)(a+7)} = \frac{a-(a-7)}{(a-7)(a+7)} = \frac{a-a+7}{(a-7)(a+7)} = \frac{7}{(a-7)(a+7)}$

2. Теперь выполним деление. Упростим делитель, разложив его знаменатель на множители: $a^2+14a+49=(a+7)^2$.

$\frac{7}{(a-7)(a+7)} : \frac{7a}{(a+7)^2}$

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{7}{(a-7)(a+7)} \cdot \frac{(a+7)^2}{7a} = \frac{7 \cdot (a+7)^2}{7a(a-7)(a+7)}$

Сокращаем дробь на $7$ и $(a+7)$:

$\frac{\cancel{7} \cdot (\cancel{a+7})(a+7)}{\cancel{7}a(a-7)(\cancel{a+7})} = \frac{a+7}{a(a-7)}$

3. Выполним последнее действие - вычитание:

$\frac{a+7}{a(a-7)} - \frac{2}{a-7}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a-7)$:

$\frac{a+7}{a(a-7)} - \frac{2 \cdot a}{a(a-7)} = \frac{a+7-2a}{a(a-7)} = \frac{7-a}{a(a-7)}$

Вынесем в числителе $-1$ за скобки: $7-a = -(a-7)$.

$\frac{-(a-7)}{a(a-7)}$

Сократим дробь на $(a-7)$: $-\frac{1}{a}$.

Результат упрощения $-\frac{1}{a}$ содержит переменную $a$. Следовательно, значение выражения зависит от значения этой переменной.

Ответ: Да, значение выражения зависит от переменной $a$.