Страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

181. Упростите выражение:

1) $ \frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} : \left( \frac{13}{x + 6} - x + 6 \right); $

2) $ \left( c - \frac{2c - 9}{c + 8} \right) : \frac{c^2 + 3c}{c^2 - 64} + \frac{24}{c}; $

3) $ \left( \frac{36}{x^2 - 9} - \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{3 + x}{3 - x} \right) : \frac{6}{3 - x}; $

4) $ \left( \frac{2y - 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{y^3 - 8} + \frac{1}{y - 2} \right) \cdot \frac{y^2 - 4}{18}; $

1) Упростим выражение $\frac{x^2 + 14x + 49}{x + 6} : \left(\frac{13}{x + 6} - x + 6\right)$.

Сначала преобразуем числитель первой дроби и выражение в скобках.

Числитель первой дроби является полным квадратом: $x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2$.

Теперь упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $x + 6$:
$\frac{13}{x + 6} - x + 6 = \frac{13}{x + 6} - (x - 6) = \frac{13 - (x - 6)(x + 6)}{x + 6} = \frac{13 - (x^2 - 36)}{x + 6} = \frac{13 - x^2 + 36}{x + 6} = \frac{49 - x^2}{x + 6}$.
Числитель $49 - x^2$ можно разложить по формуле разности квадратов: $49 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$.

Теперь выполним деление:
$\frac{(x + 7)^2}{x + 6} : \frac{(7 - x)(7 + x)}{x + 6} = \frac{(x + 7)^2}{x + 6} \cdot \frac{x + 6}{(7 - x)(7 + x)}$.

Сокращаем общие множители $(x+6)$ и $(x+7)$:
$\frac{(x + 7)(x+7)}{1} \cdot \frac{1}{(7 - x)(x+7)} = \frac{x + 7}{7 - x}$.

Ответ: $\frac{x+7}{7-x}$.

2) Упростим выражение $\left(c - \frac{2c - 9}{c + 8}\right) : \frac{c^2 + 3c}{c^2 - 64} + \frac{24}{c}$.

Выполним действия по порядку. Сначала действие в скобках:
$c - \frac{2c - 9}{c + 8} = \frac{c(c + 8) - (2c - 9)}{c + 8} = \frac{c^2 + 8c - 2c + 9}{c + 8} = \frac{c^2 + 6c + 9}{c + 8} = \frac{(c + 3)^2}{c + 8}$.

Теперь выполним деление. Разложим делитель на множители: $\frac{c^2 + 3c}{c^2 - 64} = \frac{c(c + 3)}{(c - 8)(c + 8)}$.
$\frac{(c + 3)^2}{c + 8} : \frac{c(c + 3)}{(c - 8)(c + 8)} = \frac{(c + 3)^2}{c + 8} \cdot \frac{(c - 8)(c + 8)}{c(c + 3)}$.

Сокращаем общие множители $(c+8)$ и $(c+3)$:
$\frac{c + 3}{1} \cdot \frac{c - 8}{c} = \frac{(c + 3)(c - 8)}{c}$.

Наконец, выполним сложение:
$\frac{(c + 3)(c - 8)}{c} + \frac{24}{c} = \frac{c^2 - 8c + 3c - 24 + 24}{c} = \frac{c^2 - 5c}{c}$.

Вынесем $c$ за скобки в числителе и сократим дробь:
$\frac{c(c - 5)}{c} = c - 5$.

Ответ: $c - 5$.

3) Упростим выражение $\left(\frac{36}{x^2 - 9} - \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{3 + x}{3 - x}\right) : \frac{6}{3 - x}$.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Заметим, что $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ и $3 - x = -(x - 3)$.
$\frac{36}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{x + 3}{-(x - 3)} = \frac{36}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3)$:
$\frac{36 - (x - 3)(x - 3) + (x + 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{36 - (x - 3)^2 + (x + 3)^2}{(x - 3)(x + 3)}$.

Раскроем скобки в числителе:
$36 - (x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 6x + 9) = 36 - x^2 + 6x - 9 + x^2 + 6x + 9 = 36 + 12x = 12(3 + x)$.

Выражение в скобках равно: $\frac{12(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{12}{x - 3}$.

Теперь выполним деление:
$\frac{12}{x - 3} : \frac{6}{3 - x} = \frac{12}{x - 3} \cdot \frac{3 - x}{6} = \frac{12}{x - 3} \cdot \frac{-(x - 3)}{6}$.

Сокращаем общие множители $(x-3)$ и числа:
$\frac{12 \cdot (-1)}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Ответ: -2.

4) Упростим выражение $\left(\frac{2y - 1}{y^2 + 2y + 4} + \frac{9y + 6}{y^3 - 8} + \frac{1}{y - 2}\right) \cdot \frac{y^2 - 4}{18}$.

Разложим знаменатель $y^3 - 8$ по формуле разности кубов: $y^3 - 8 = (y - 2)(y^2 + 2y + 4)$. Это будет общий знаменатель для выражения в скобках.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$\frac{(2y - 1)(y - 2)}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)} + \frac{9y + 6}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)} + \frac{y^2 + 2y + 4}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)}$.

Сложим числители:
$\frac{(2y - 1)(y - 2) + 9y + 6 + y^2 + 2y + 4}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)}$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$2y^2 - 4y - y + 2 + 9y + 6 + y^2 + 2y + 4 = (2y^2 + y^2) + (-4y - y + 9y + 2y) + (2 + 6 + 4) = 3y^2 + 6y + 12$.

Вынесем общий множитель 3: $3(y^2 + 2y + 4)$.

Выражение в скобках равно: $\frac{3(y^2 + 2y + 4)}{(y - 2)(y^2 + 2y + 4)} = \frac{3}{y - 2}$.

Теперь выполним умножение. Разложим $y^2-4$ на множители: $y^2-4=(y-2)(y+2)$.
$\frac{3}{y - 2} \cdot \frac{y^2 - 4}{18} = \frac{3}{y - 2} \cdot \frac{(y - 2)(y + 2)}{18}$.

Сокращаем общие множители $(y-2)$ и числа:
$\frac{3(y + 2)}{18} = \frac{y + 2}{6}$.

Ответ: $\frac{y+2}{6}$.

182. Докажите тождество:

1) $(\frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{b}{2b - 2a}) : \frac{2b}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{4};$

2) $(\frac{8a}{4 - a^2} - \frac{a - 2}{a + 2}) : (\frac{a + 2}{a} + \frac{2}{a - 2}) = -1;$

3) $(\frac{3}{36 - c^2} + \frac{1}{c^2 - 12c + 36}) \cdot \frac{(c - 6)^2}{2} + \frac{3c}{c + 6} = 2.$

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, выполняя действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках.

1. Разложим знаменатели на множители:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$2b - 2a = 2(b - a) = -2(a - b)$

2. Выполним сложение дробей в скобках:

$\frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{b}{2b - 2a} = \frac{ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{b}{-2(a - b)} = \frac{ab}{(a - b)(a + b)} - \frac{b}{2(a - b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(a - b)(a + b)$:

$\frac{2 \cdot ab}{2(a - b)(a + b)} - \frac{b \cdot (a + b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{2ab - ab - b^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{ab - b^2}{2(a - b)(a + b)}$

Вынесем общий множитель $b$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{b(a - b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{b}{2(a + b)}$

3. Теперь выполним деление:

$(\frac{b}{2(a + b)}) : \frac{2b}{a^2 - b^2} = \frac{b}{2(a + b)} \cdot \frac{a^2 - b^2}{2b} = \frac{b}{2(a + b)} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{2b}$

Сократим общие множители $b$ и $(a + b)$:

$\frac{a - b}{2 \cdot 2} = \frac{a - b}{4}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Преобразуем левую часть тождества по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатель $4 - a^2$ на множители: $4 - a^2 = (2 - a)(2 + a) = -(a - 2)(a + 2)$.

$\frac{8a}{4 - a^2} - \frac{a - 2}{a + 2} = \frac{8a}{-(a - 2)(a + 2)} - \frac{a - 2}{a + 2} = -\frac{8a}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{(a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)}$

Объединим дроби и раскроем скобки в числителе:

$\frac{-8a - (a^2 - 4a + 4)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{-8a - a^2 + 4a - 4}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{-a^2 - 4a - 4}{(a - 2)(a + 2)}$

Вынесем $-1$ в числителе и свернем его по формуле квадрата суммы:

$\frac{-(a^2 + 4a + 4)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{-(a + 2)^2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{-(a + 2)}{a - 2}$

2. Выполним деление:

$\frac{-(a + 2)}{a - 2} : \frac{a + 2}{a} = \frac{-(a + 2)}{a - 2} \cdot \frac{a}{a + 2} = \frac{-a}{a - 2}$

3. Выполним сложение:

$\frac{-a}{a - 2} + \frac{2}{a - 2} = \frac{-a + 2}{a - 2} = \frac{-(a - 2)}{a - 2} = -1$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Преобразуем левую часть тождества по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$36 - c^2 = (6 - c)(6 + c) = -(c - 6)(c + 6)$

$c^2 - 12c + 36 = (c - 6)^2$

Подставим и приведем к общему знаменателю $(c - 6)^2(c + 6)$:

$\frac{3}{-(c - 6)(c + 6)} + \frac{1}{(c - 6)^2} = \frac{-3(c - 6)}{(c - 6)^2(c + 6)} + \frac{c + 6}{(c - 6)^2(c + 6)}$

Сложим числители:

$\frac{-3c + 18 + c + 6}{(c - 6)^2(c + 6)} = \frac{-2c + 24}{(c - 6)^2(c + 6)}$

2. Выполним умножение:

$\frac{-2c + 24}{(c - 6)^2(c + 6)} \cdot \frac{(c - 6)^2}{2}$

Сократим на $(c - 6)^2$:

$\frac{-2c + 24}{c + 6} \cdot \frac{1}{2}$

Вынесем 2 в числителе и сократим:

$\frac{2(-c + 12)}{c + 6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{12 - c}{c + 6}$

3. Выполним сложение:

$\frac{12 - c}{c + 6} + \frac{3c}{c + 6} = \frac{12 - c + 3c}{c + 6} = \frac{12 + 2c}{c + 6}$

Вынесем 2 в числителе и сократим:

$\frac{2(6 + c)}{c + 6} = 2$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

183. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{b}{a^2 - ab} - \frac{2}{a - b} - \frac{a}{b^2 - ab}\right) : \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{4}{a + b};$

2) $\frac{(a - b)^2}{a} \cdot \left(\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}\right) + \frac{3a + b}{a + b} = 3.$

184. Зависит ли значение выражения от значения входящей в него переменной:

1) $\left( \frac{a+3}{a^2-1} - \frac{1}{a^2+a} \right) : \frac{3a+3}{a^2-a}$

2) $\left( \frac{a}{a^2-49} - \frac{1}{a+7} \right) : \frac{7a}{a^2+14a+49} - \frac{2}{a-7}?$

1) Чтобы определить, зависит ли значение выражения от переменной, необходимо его упростить. Выполним действия по порядку.

Исходное выражение: $(\frac{a+3}{a^2-1} - \frac{1}{a^2+a}) : \frac{3a+3}{a^2-a}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:

$a^2-1 = (a-1)(a+1)$ (формула разности квадратов).

$a^2+a = a(a+1)$ (вынесение общего множителя).

Выражение в скобках принимает вид:

$\frac{a+3}{(a-1)(a+1)} - \frac{1}{a(a+1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a-1)(a+1)$:

$\frac{a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a(a+3) - (a-1)}{a(a-1)(a+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{a^2+3a-a+1}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+1}{a(a-1)(a+1)}$

Числитель $a^2+2a+1$ является полным квадратом: $(a+1)^2$.

Получаем: $\frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)}$.

Сократим дробь на $(a+1)$: $\frac{a+1}{a(a-1)}$.

Теперь выполним деление. Упростим делитель $\frac{3a+3}{a^2-a}$, разложив его числитель и знаменатель на множители:

$\frac{3(a+1)}{a(a-1)}$

Деление дробей заменяем на умножение на обратную дробь:

$\frac{a+1}{a(a-1)} : \frac{3(a+1)}{a(a-1)} = \frac{a+1}{a(a-1)} \cdot \frac{a(a-1)}{3(a+1)}$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе ($a$, $a-1$, $a+1$):

$\frac{\cancel{a+1}}{\cancel{a}(\cancel{a-1})} \cdot \frac{\cancel{a}(\cancel{a-1})}{3(\cancel{a+1})} = \frac{1}{3}$

Результат упрощения - число $\frac{1}{3}$, которое не содержит переменную $a$. Следовательно, значение выражения не зависит от значения переменной $a$ (при всех допустимых значениях $a$, которыми являются все числа, кроме $0, 1, -1$).

Ответ: Нет, значение выражения не зависит от переменной $a$.

2) Упростим данное выражение, чтобы определить, зависит ли его значение от переменной.

Исходное выражение: $(\frac{a}{a^2-49} - \frac{1}{a+7}) : \frac{7a}{a^2+14a+49} - \frac{2}{a-7}$.

Согласно порядку действий, сначала выполняем вычитание в скобках, затем деление, и в конце вычитание.

1. Выполним действие в скобках. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $a^2-49 = (a-7)(a+7)$.

$\frac{a}{(a-7)(a+7)} - \frac{1}{a+7}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-7)(a+7)$:

$\frac{a}{(a-7)(a+7)} - \frac{1 \cdot (a-7)}{(a-7)(a+7)} = \frac{a-(a-7)}{(a-7)(a+7)} = \frac{a-a+7}{(a-7)(a+7)} = \frac{7}{(a-7)(a+7)}$

2. Теперь выполним деление. Упростим делитель, разложив его знаменатель на множители: $a^2+14a+49=(a+7)^2$.

$\frac{7}{(a-7)(a+7)} : \frac{7a}{(a+7)^2}$

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{7}{(a-7)(a+7)} \cdot \frac{(a+7)^2}{7a} = \frac{7 \cdot (a+7)^2}{7a(a-7)(a+7)}$

Сокращаем дробь на $7$ и $(a+7)$:

$\frac{\cancel{7} \cdot (\cancel{a+7})(a+7)}{\cancel{7}a(a-7)(\cancel{a+7})} = \frac{a+7}{a(a-7)}$

3. Выполним последнее действие - вычитание:

$\frac{a+7}{a(a-7)} - \frac{2}{a-7}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a-7)$:

$\frac{a+7}{a(a-7)} - \frac{2 \cdot a}{a(a-7)} = \frac{a+7-2a}{a(a-7)} = \frac{7-a}{a(a-7)}$

Вынесем в числителе $-1$ за скобки: $7-a = -(a-7)$.

$\frac{-(a-7)}{a(a-7)}$

Сократим дробь на $(a-7)$: $-\frac{1}{a}$.

Результат упрощения $-\frac{1}{a}$ содержит переменную $a$. Следовательно, значение выражения зависит от значения этой переменной.

Ответ: Да, значение выражения зависит от переменной $a$.

185. Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной:

1) $\frac{3x^2 - 27}{4x^2 + 2} \cdot \left(\frac{6x + 1}{x - 3} + \frac{6x - 1}{x + 3}\right);$

2) $\frac{3}{2a - 3} - \frac{8a^3 - 18a}{4a^2 + 9} \cdot \left(\frac{2a}{4a^2 - 12a + 9} - \frac{3}{4a^2 - 9}\right).$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Выполним действия по порядку.

Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(x-3)(x+3) = x^2 - 9$.

$ \frac{6x + 1}{x - 3} + \frac{6x - 1}{x + 3} = \frac{(6x + 1)(x + 3) + (6x - 1)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{(6x^2 + 18x + x + 3) + (6x^2 - 18x - x + 3)}{x^2 - 9} = \frac{12x^2 + 6}{x^2 - 9} = \frac{6(2x^2 + 1)}{x^2 - 9} $

Теперь упростим первый множитель, вынеся общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{3x^2 - 27}{4x^2 + 2} = \frac{3(x^2 - 9)}{2(2x^2 + 1)} $

Теперь перемножим полученные выражения:

$ \frac{3(x^2 - 9)}{2(2x^2 + 1)} \cdot \frac{6(2x^2 + 1)}{x^2 - 9} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x^2 - 9)$ и $(2x^2 + 1)$.

$ \frac{3 \cdot \cancel{(x^2 - 9)}}{2 \cdot \cancel{(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{6 \cdot \cancel{(2x^2 + 1)}}{\cancel{(x^2 - 9)}} = \frac{3 \cdot 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 $

Полученное значение 9 является константой и не зависит от значения переменной $x$. Область допустимых значений переменной: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Ответ: 9

2) Упростим данное выражение, соблюдая порядок действий. Сначала выполним вычитание в скобках, затем умножение и в конце вычитание.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

$ 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2 $
$ 4a^2 - 9 = (2a - 3)(2a + 3) $

$ \frac{2a}{4a^2 - 12a + 9} - \frac{3}{4a^2 - 9} = \frac{2a}{(2a - 3)^2} - \frac{3}{(2a - 3)(2a + 3)} $

Общий знаменатель: $(2a - 3)^2(2a + 3)$.

$ \frac{2a(2a + 3) - 3(2a - 3)}{(2a - 3)^2(2a + 3)} = \frac{4a^2 + 6a - 6a + 9}{(2a - 3)^2(2a + 3)} = \frac{4a^2 + 9}{(2a - 3)^2(2a + 3)} $

2. Теперь выполним умножение. Упростим множитель $ \frac{8a^3 - 18a}{4a^2 + 9} $:

$ \frac{8a^3 - 18a}{4a^2 + 9} = \frac{2a(4a^2 - 9)}{4a^2 + 9} = \frac{2a(2a - 3)(2a + 3)}{4a^2 + 9} $

Перемножим полученные дроби:

$ \frac{2a(2a - 3)(2a + 3)}{4a^2 + 9} \cdot \frac{4a^2 + 9}{(2a - 3)^2(2a + 3)} $

Сократим общие множители $(4a^2 + 9)$, $(2a + 3)$ и $(2a - 3)$:

$ \frac{2a \cdot \cancel{(2a - 3)} \cdot \cancel{(2a + 3)}}{\cancel{4a^2 + 9}} \cdot \frac{\cancel{4a^2 + 9}}{(2a - 3)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{(2a + 3)}} = \frac{2a}{2a - 3} $

3. Выполним последнее действие - вычитание:

$ \frac{3}{2a - 3} - \frac{2a}{2a - 3} = \frac{3 - 2a}{2a - 3} = \frac{-(2a - 3)}{2a - 3} = -1 $

Полученное значение -1 является константой и не зависит от значения переменной $a$. Область допустимых значений переменной: $a \neq \frac{3}{2}$ и $a \neq -\frac{3}{2}$.

Ответ: -1