Страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что является произведением двух рациональных дробей?

1.

Произведением двух рациональных дробей является рациональная дробь. Чтобы найти произведение двух рациональных дробей, необходимо выполнить следующие действия:

1. Перемножить числители исходных дробей. Полученное выражение станет числителем новой дроби.
2. Перемножить знаменатели исходных дробей. Полученное выражение станет знаменателем новой дроби.

Это правило можно выразить с помощью формулы. Если у нас есть две рациональные дроби $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$, где $A$, $B$, $C$ и $D$ — многочлены, причем $B \neq 0$ и $D \neq 0$, то их произведение равно:

$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$

Так как произведение многочленов также является многочленом, результат умножения — дробь $\frac{A \cdot C}{B \cdot D}$ — тоже является рациональной дробью.

Пример:

Выполним умножение рациональных дробей $\frac{x-1}{x^2+2x}$ и $\frac{x+2}{x^2-1}$.

1. Запишем произведение числителей и произведение знаменателей:

$\frac{x-1}{x^2+2x} \cdot \frac{x+2}{x^2-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{(x^2+2x)(x^2-1)}$

2. Для упрощения результата разложим числитель и знаменатель на множители. Знаменатель $x^2+2x$ можно представить как $x(x+2)$, а знаменатель $x^2-1$ как $(x-1)(x+1)$ по формуле разности квадратов.

$\frac{(x-1)(x+2)}{x(x+2)(x-1)(x+1)}$

3. Сократим общие множители в числителе и знаменателе. В данном случае это $(x-1)$ и $(x+2)$.

$\frac{\cancel{(x-1)}\cancel{(x+2)}}{x\cancel{(x+2)}\cancel{(x-1)}(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}$

4. Запишем конечный результат:

$\frac{1}{x^2+x}$

Ответ: Произведением двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

2. Что является частным двух рациональных дробей?

Частным (результатом деления) двух рациональных дробей всегда является рациональная дробь. Чтобы доказать это, обратимся к определению и правилам действий с дробями.

Рациональная дробь — это выражение вида $\frac{P}{Q}$, где числитель $P$ и знаменатель $Q$ являются многочленами, причем $Q$ не является нулевым многочленом.

Возьмем две произвольные рациональные дроби: $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$. Здесь $A, B, C, D$ — многочлены. По определению, знаменатели $B$ и $D$ не равны нулю. Кроме того, делитель (дробь $\frac{C}{D}$) не может быть равен нулю, что означает, что ее числитель $C$ также не является нулевым многочленом ($C \neq 0$).

Правило деления дробей гласит, что для того, чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$$ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} $$

Далее, чтобы перемножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно:

$$ \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} $$

Рассмотрим полученное выражение $\frac{A \cdot D}{B \cdot C}$:

1. Числитель $A \cdot D$ является произведением двух многочленов, что в результате также дает многочлен.
2. Знаменатель $B \cdot C$ является произведением двух многочленов, что также дает многочлен.
3. Поскольку по условию многочлены $B$ и $C$ не равны нулю, их произведение $B \cdot C$ также не будет нулевым многочленом.

Таким образом, результат деления представляет собой отношение двух многочленов с ненулевым знаменателем, что в точности соответствует определению рациональной дроби.

Например, найдем частное дробей $\frac{x-1}{x+5}$ и $\frac{x^2-1}{x+3}$:

$$ \frac{x-1}{x+5} \div \frac{x^2-1}{x+3} = \frac{x-1}{x+5} \cdot \frac{x+3}{x^2-1} $$

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов и выполним сокращение:

$$ \frac{x-1}{x+5} \cdot \frac{x+3}{(x-1)(x+1)} = \frac{\cancel{x-1}}{x+5} \cdot \frac{x+3}{(\cancel{x-1})(x+1)} = \frac{x+3}{(x+5)(x+1)} $$

Результат $\frac{x+3}{x^2+6x+5}$ является рациональной дробью.

Ответ: Частным двух рациональных дробей является рациональная дробь.

3. Как возвести рациональную дробь в степень?

3. Как возвести рациональную дробь в степень?

Чтобы возвести рациональную дробь в степень, необходимо возвести в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель дроби. Результат возведения числителя становится новым числителем, а результат возведения знаменателя — новым знаменателем.

Это правило выражается следующей формулой. Пусть дана рациональная дробь $ \frac{A}{B} $ (где $A$ и $B$ — это числа или алгебраические выражения, и $ B \neq 0 $) и целое число $n$ — показатель степени. Тогда:

$ \left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n} $

Рассмотрим основные случаи.

1. Натуральный показатель степени ($n > 0$)

Числитель и знаменатель возводятся в эту натуральную степень.

Пример: Возвести дробь $ \frac{2}{3} $ в 4-ю степень.

$ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} $

Пример с переменными:

$ \left(\frac{a^2}{5c}\right)^3 = \frac{(a^2)^3}{(5c)^3} = \frac{a^{2 \cdot 3}}{5^3 \cdot c^3} = \frac{a^6}{125c^3} $

2. Отрицательный показатель степени ($n < 0$)

Если показатель степени — отрицательное число (например, $-n$), то дробь сначала «переворачивается» (числитель и знаменатель меняются местами), а показатель степени становится положительным.

$ \left(\frac{A}{B}\right)^{-n} = \left(\frac{B}{A}\right)^n = \frac{B^n}{A^n} $ (при $ A \neq 0, B \neq 0 $)

Пример: Возвести дробь $ \frac{4}{x} $ в степень -2.

$ \left(\frac{4}{x}\right)^{-2} = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{4^2} = \frac{x^2}{16} $

3. Нулевой показатель степени ($n = 0$)

Любое число или дробь (кроме $ \frac{0}{0} $ или дроби с нулевым знаменателем) в нулевой степени равно единице.

$ \left(\frac{A}{B}\right)^0 = 1 $ (при $ A \neq 0, B \neq 0 $)

Пример:

$ \left(\frac{7m^3}{n-1}\right)^0 = 1 $

Ответ: Чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно возвести в эту степень ее числитель и ее знаменатель по отдельности, и первый результат записать в числитель, а второй — в знаменатель новой дроби. Формула этого правила: $ \left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n} $.

143. Какому из данных выражений равно произведение $ \frac{a^3}{c^8} \cdot \frac{c^4}{a^3} $?

1) $ \frac{1}{c^2} $;2) $ \frac{a}{c^2} $;3) $ \frac{1}{c^4} $;4) $ \frac{a}{c^4} $.

Чтобы найти произведение данных дробей, необходимо перемножить их числители и знаменатели.

Исходное выражение:

$ \frac{a^3}{c^8} \cdot \frac{c^4}{a^3} $

Запишем произведение в виде одной дроби:

$ \frac{a^3 \cdot c^4}{c^8 \cdot a^3} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. В данном случае это $a^3$. Предполагая, что $ a \neq 0 $ и $ c \neq 0 $, мы можем сократить дробь:

$ \frac{\cancel{a^3} \cdot c^4}{c^8 \cdot \cancel{a^3}} = \frac{c^4}{c^8} $

Далее воспользуемся свойством степеней при делении: $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $.

$ \frac{c^4}{c^8} = c^{4-8} = c^{-4} $

Используя определение степени с отрицательным показателем $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $, получаем:

$ c^{-4} = \frac{1}{c^4} $

Полученный результат $ \frac{1}{c^4} $ соответствует выражению под номером 3.

Ответ: 3) $ \frac{1}{c^4} $.