Страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

120. Докажите тождество:

1) $\frac{1}{6a - 4b} - \frac{1}{6a + 4b} - \frac{3a}{4b^2 - 9a^2} = \frac{1}{3a - 2b};$

2) $\frac{c + 2}{c^2 + 3c} - \frac{1}{3c + 9} - \frac{2}{3c} = 0.$

1) Докажем тождество $\frac{1}{6a-4b} - \frac{1}{6a+4b} - \frac{3a}{4b^2-9a^2} = \frac{1}{3a-2b}$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Сначала разложим знаменатели дробей на множители:

$6a - 4b = 2(3a - 2b)$

$6a + 4b = 2(3a + 2b)$

$4b^2 - 9a^2 = (2b)^2 - (3a)^2 = (2b - 3a)(2b + 3a) = -(3a - 2b)(3a + 2b)$

Теперь подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:

$\frac{1}{2(3a-2b)} - \frac{1}{2(3a+4b)} - \frac{3a}{-(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{1}{2(3a-2b)} - \frac{1}{2(3a+2b)} + \frac{3a}{(3a-2b)(3a+2b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(3a-2b)(3a+2b)$:

$\frac{1 \cdot (3a+2b)}{2(3a-2b)(3a+2b)} - \frac{1 \cdot (3a-2b)}{2(3a-2b)(3a+2b)} + \frac{3a \cdot 2}{2(3a-2b)(3a+2b)}$

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$\frac{(3a+2b) - (3a-2b) + 6a}{2(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{3a+2b-3a+2b+6a}{2(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{6a+4b}{2(3a-2b)(3a+2b)}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$\frac{2(3a+2b)}{2(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{1}{3a-2b}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{c+2}{c^2+3c} - \frac{1}{3c+9} - \frac{2}{3c} = 0$.

Преобразуем левую часть выражения. Разложим знаменатели на множители:

$c^2 + 3c = c(c+3)$

$3c + 9 = 3(c+3)$

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$\frac{c+2}{c(c+3)} - \frac{1}{3(c+3)} - \frac{2}{3c}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $3c(c+3)$:

$\frac{3(c+2)}{3c(c+3)} - \frac{1 \cdot c}{3c(c+3)} - \frac{2(c+3)}{3c(c+3)}$

Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:

$\frac{3(c+2) - c - 2(c+3)}{3c(c+3)} = \frac{3c+6-c-2c-6}{3c(c+3)} = \frac{(3c-c-2c)+(6-6)}{3c(c+3)} = \frac{0}{3c(c+3)}$

При допустимых значениях переменных ($c \ne 0$ и $c \ne -3$) значение выражения равно нулю.

$\frac{0}{3c(c+3)} = 0$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

121. Найдите разность дробей:

1) $ \frac{a+1}{a^3-1} - \frac{1}{a^2+a+1} $;

2) $ \frac{1}{b+3} - \frac{b^2-6b}{b^3+27} $.

1) Чтобы найти разность дробей $\frac{a+1}{a^3 - 1} - \frac{1}{a^2 + a + 1}$, необходимо привести их к общему знаменателю.
Для этого разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:
$a^3 - 1 = (a-1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a-1)(a^2 + a + 1)$.
Знаменатель второй дроби, $a^2 + a + 1$, является одним из множителей знаменателя первой дроби. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен $(a-1)(a^2 + a + 1)$.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(a-1)$:
$\frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{(a^2+a+1)(a-1)} = \frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{a-1}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{(a+1) - (a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{a+1-a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{2}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Можно свернуть знаменатель обратно, чтобы получить окончательный вид:
$\frac{2}{a^3-1}$
Ответ: $\frac{2}{a^3 - 1}$

2) Чтобы найти разность дробей $\frac{1}{b+3} - \frac{b^2 - 6b}{b^3 + 27}$, приведем их к общему знаменателю.
Разложим на множители знаменатель второй дроби, используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:
$b^3 + 27 = b^3 + 3^3 = (b+3)(b^2 - b \cdot 3 + 3^2) = (b+3)(b^2 - 3b + 9)$.
Знаменатель первой дроби, $(b+3)$, является одним из множителей знаменателя второй дроби. Таким образом, наименьший общий знаменатель равен $(b+3)(b^2 - 3b + 9)$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $(b^2 - 3b + 9)$:
$\frac{1 \cdot (b^2 - 3b + 9)}{(b+3)(b^2 - 3b + 9)} - \frac{b^2 - 6b}{(b+3)(b^2 - 3b + 9)} = \frac{b^2 - 3b + 9}{b^3 + 27} - \frac{b^2 - 6b}{b^3 + 27}$
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(b^2 - 3b + 9) - (b^2 - 6b)}{b^3 + 27} = \frac{b^2 - 3b + 9 - b^2 + 6b}{b^3 + 27} = \frac{3b + 9}{b^3 + 27}$
Упростим полученное выражение. Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки и разложим знаменатель на множители:
$\frac{3(b+3)}{(b+3)(b^2 - 3b + 9)}$
Сократим дробь на общий множитель $(b+3)$:
$\frac{3}{b^2 - 3b + 9}$
Ответ: $\frac{3}{b^2 - 3b + 9}$

122. Упростите выражение:

1) $ \frac{9m^2 - 3mn + n^2}{3m - n} - \frac{9m^2 + 3mn + n^2}{3m + n} $

2) $ 1 - \frac{2b - 1}{4b^2 - 2b + 1} - \frac{2b}{2b + 1} $

1) $\frac{9m^2 - 3mn + n^2}{3m - n} - \frac{9m^2 + 3mn + n^2}{3m + n}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(3m - n)(3m + n)$. По формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ имеем:

$(3m - n)(3m + n) = (3m)^2 - n^2 = 9m^2 - n^2$.

Теперь приведем каждую дробь к новому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на соответствующий множитель:

$\frac{(9m^2 - 3mn + n^2)(3m + n)}{(3m - n)(3m + n)} - \frac{(9m^2 + 3mn + n^2)(3m - n)}{(3m + n)(3m - n)}$

Заметим, что выражения в числителях соответствуют формулам суммы и разности кубов:
$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

В первом числителе, пусть $a = 3m$ и $b = n$. Тогда $a^2-ab+b^2 = (3m)^2 - (3m)n + n^2 = 9m^2-3mn+n^2$. Следовательно, числитель первой дроби является произведением неполного квадрата разности на сумму, что равно сумме кубов:
$(3m+n)(9m^2 - 3mn + n^2) = (3m)^3 + n^3 = 27m^3 + n^3$.

Во втором числителе, пусть $a = 3m$ и $b = n$. Тогда $a^2+ab+b^2 = (3m)^2 + (3m)n + n^2 = 9m^2+3mn+n^2$. Следовательно, числитель второй дроби является произведением неполного квадрата суммы на разность, что равно разности кубов:
$(3m-n)(9m^2 + 3mn + n^2) = (3m)^3 - n^3 = 27m^3 - n^3$.

Подставим полученные выражения в нашу дробь:

$\frac{27m^3 + n^3}{9m^2 - n^2} - \frac{27m^3 - n^3}{9m^2 - n^2} = \frac{(27m^3 + n^3) - (27m^3 - n^3)}{9m^2 - n^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{27m^3 + n^3 - 27m^3 + n^3}{9m^2 - n^2} = \frac{2n^3}{9m^2 - n^2}$

Ответ: $\frac{2n^3}{9m^2 - n^2}$.

2) $1 - \frac{2b - 1}{4b^2 - 2b + 1} - \frac{2b}{2b + 1}$

Для упрощения выражения выполним действия по порядку. Удобнее сначала выполнить вычитание из единицы последней дроби:

$1 - \frac{2b}{2b + 1} = \frac{2b + 1}{2b + 1} - \frac{2b}{2b + 1} = \frac{2b + 1 - 2b}{2b + 1} = \frac{1}{2b + 1}$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$\frac{1}{2b + 1} - \frac{2b - 1}{4b^2 - 2b + 1}$

Приведем эти дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $4b^2 - 2b + 1$ является неполным квадратом разности выражений $2b$ и $1$. Общий знаменатель будет произведением знаменателей:

$(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=2b$ и $b=1$:

$(2b + 1)((2b)^2 - 2b \cdot 1 + 1^2) = (2b)^3 + 1^3 = 8b^3 + 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $8b^3 + 1$:

$\frac{1 \cdot (4b^2 - 2b + 1)}{(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1)} - \frac{(2b - 1)(2b + 1)}{(4b^2 - 2b + 1)(2b + 1)}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{4b^2 - 2b + 1 - (2b - 1)(2b + 1)}{8b^3 + 1}$

В числителе применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для выражения $(2b-1)(2b+1)$:

$(2b - 1)(2b + 1) = (2b)^2 - 1^2 = 4b^2 - 1$.

Подставим это в числитель и упростим:

$\frac{4b^2 - 2b + 1 - (4b^2 - 1)}{8b^3 + 1} = \frac{4b^2 - 2b + 1 - 4b^2 + 1}{8b^3 + 1} = \frac{-2b + 2}{8b^3 + 1} = \frac{2 - 2b}{8b^3 + 1}$

Ответ: $\frac{2 - 2b}{8b^3 + 1}$.

123. Докажите тождество:

$\frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} - \frac{6}{a^2 - 2a + 4} - \frac{1}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Наша задача — показать, что левая часть равна правой.

Исходное тождество:

$ \frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} - \frac{6}{a^2 - 2a + 4} - \frac{1}{a+2} = \frac{2}{a+2} $

Рассмотрим левую часть выражения:

$ \frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} - \frac{6}{a^2 - 2a + 4} - \frac{1}{a+2} $

1. Первым шагом разложим на множители знаменатель первой дроби $a^3 + 8$. Это сумма кубов, которая раскладывается по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$ a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a+2)(a^2 - 2a + 4) $

2. Теперь мы видим, что общий знаменатель для всех трёх дробей в левой части — это $(a+2)(a^2 - 2a + 4)$. Приведём все дроби к этому общему знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(a+2)$, а третьей — на $(a^2 - 2a + 4)$:

$ \frac{3a^2 + 24}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} - \frac{6(a+2)}{(a^2 - 2a + 4)(a+2)} - \frac{1(a^2 - 2a + 4)}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} $

3. Объединим дроби, выполнив действия в числителе. Важно обратить внимание на знаки при раскрытии скобок:

$ \frac{(3a^2 + 24) - (6a + 12) - (a^2 - 2a + 4)}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3a^2 + 24 - 6a - 12 - a^2 + 2a - 4}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} $

4. Приведём подобные слагаемые в числителе:

$ (3a^2 - a^2) + (-6a + 2a) + (24 - 12 - 4) = 2a^2 - 4a + 8 $

5. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{2a^2 - 4a + 8}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} $

6. Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$ \frac{2(a^2 - 2a + 4)}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} $

7. Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - 2a + 4)$. Это выражение не равно нулю ни при каких действительных значениях $a$.

$ \frac{2\cancel{(a^2 - 2a + 4)}}{(a+2)\cancel{(a^2 - 2a + 4)}} = \frac{2}{a+2} $

В результате преобразования левой части мы получили выражение, идентичное правой части исходного равенства: $ \frac{2}{a+2} = \frac{2}{a+2} $. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

124. Упростите выражение:

1) $ \frac{4b}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{a^2 + ab} + \frac{a + b}{b^2 - ab} $;

2) $ \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{x^2 + 4}{8x - 2x^3} $;

3) $ \frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{a^2 - 25b^2} + \frac{1}{(a + 5b)^2} $;

4) $ \frac{x^2 + 9x + 18}{xy + 3y - 2x - 6} - \frac{x + 5}{y - 2} $.

1) $\frac{4b}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{a^2 + ab} + \frac{a + b}{b^2 - ab}$

Сначала разложим на множители знаменатели каждой дроби. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и вынесение общего множителя за скобки.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$a^2 + ab = a(a + b)$

$b^2 - ab = b(b - a) = -b(a - b)$

Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение. Обратим внимание, что в знаменателе третьей дроби мы вынесли минус за скобку, поэтому знак перед дробью изменится на противоположный.

$\frac{4b}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{a(a + b)} - \frac{a + b}{b(a - b)}$

Теперь найдем общий знаменатель. Он состоит из всех уникальных множителей в наибольшей степени, то есть $ab(a - b)(a + b)$. Приведем все дроби к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители.

$\frac{4b \cdot ab}{ab(a - b)(a + b)} + \frac{(a - b) \cdot b(a-b)}{ab(a - b)(a + b)} - \frac{(a + b) \cdot a(a+b)}{ab(a - b)(a + b)}$

Запишем все под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$\frac{4ab^2 + b(a^2 - 2ab + b^2) - a(a^2 + 2ab + b^2)}{ab(a - b)(a + b)}$

$\frac{4ab^2 + a^2b - 2ab^2 + b^3 - a^3 - 2a^2b - ab^2}{ab(a - b)(a + b)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$-a^3 + (a^2b - 2a^2b) + (4ab^2 - 2ab^2 - ab^2) + b^3 = -a^3 - a^2b + ab^2 + b^3$

Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители за скобки для дальнейшего упрощения:

$(-a^3 - a^2b) + (ab^2 + b^3) = -a^2(a + b) + b^2(a + b) = (b^2 - a^2)(a + b) = (b-a)(b+a)(a+b) = -(a-b)(a+b)^2$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{-(a - b)(a + b)^2}{ab(a - b)(a + b)}$

Сократим общие множители $(a-b)$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-(a + b)}{ab}$

Ответ: $-\frac{a+b}{ab}$

2) $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{x^2 + 4}{8x - 2x^3}$

Разложим на множители знаменатели дробей:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$8x - 2x^3 = 2x(4 - x^2) = 2x(2 - x)(2 + x) = -2x(x - 2)(x + 2)$

Перепишем выражение, подставив разложенные знаменатели и изменив знак у последней дроби:

$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x^2 + 4}{2x(x - 2)(x + 2)}$

Общий знаменатель: $2x(x - 2)(x + 2)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$\frac{1 \cdot 2x(x+2)}{2x(x - 2)(x + 2)} + \frac{1 \cdot 2x(x-2)}{2x(x - 2)(x + 2)} - \frac{x \cdot 2x}{2x(x - 2)(x + 2)} - \frac{x^2 + 4}{2x(x - 2)(x + 2)}$

Объединим дроби, записав все числители под общим знаменателем:

$\frac{2x(x+2) + 2x(x-2) - 2x^2 - (x^2 + 4)}{2x(x - 2)(x + 2)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x - 2x^2 - x^2 - 4}{2x(x^2 - 4)}$

$\frac{(2x^2 + 2x^2 - 2x^2 - x^2) + (4x - 4x) - 4}{2x(x^2 - 4)} = \frac{x^2 - 4}{2x(x^2 - 4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^2 - 4)$:

$\frac{1}{2x}$

Ответ: $\frac{1}{2x}$

3) $\frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{a^2 - 25b^2} + \frac{1}{(a + 5b)^2}$

Разложим на множители знаменатель средней дроби по формуле разности квадратов:

$a^2 - 25b^2 = a^2 - (5b)^2 = (a - 5b)(a + 5b)$

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{(a - 5b)(a + 5b)} + \frac{1}{(a + 5b)^2}$

Общий знаменатель для этих дробей будет $(a - 5b)^2(a + 5b)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (a+5b)^2}{(a - 5b)^2(a + 5b)^2} - \frac{2 \cdot (a-5b)(a+5b)}{(a - 5b)^2(a + 5b)^2} + \frac{1 \cdot (a-5b)^2}{(a - 5b)^2(a + 5b)^2}$

Объединим числители под общим знаменателем. Знаменатель можно записать как $( (a-5b)(a+5b) )^2 = (a^2-25b^2)^2$.

$\frac{(a+5b)^2 - 2(a^2 - 25b^2) + (a-5b)^2}{(a^2 - 25b^2)^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$\frac{(a^2 + 10ab + 25b^2) - 2a^2 + 50b^2 + (a^2 - 10ab + 25b^2)}{(a^2 - 25b^2)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(a^2 - 2a^2 + a^2) + (10ab - 10ab) + (25b^2 + 50b^2 + 25b^2) = 0 + 0 + 100b^2 = 100b^2$

В итоге получаем:

$\frac{100b^2}{(a^2 - 25b^2)^2}$

Ответ: $\frac{100b^2}{(a^2 - 25b^2)^2}$

4) $\frac{x^2 + 9x + 18}{xy + 3y - 2x - 6} - \frac{x + 5}{y - 2}$

Упростим первую дробь. Для этого разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $x^2 + 9x + 18$ является квадратным трехчленом. По теореме Виета, его корни $x_1, x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -9$ и $x_1 \cdot x_2 = 18$. Подбором находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -6$.
Следовательно, $x^2 + 9x + 18 = (x - (-3))(x - (-6)) = (x + 3)(x + 6)$.

Знаменатель $xy + 3y - 2x - 6$ разложим на множители методом группировки:
$(xy + 3y) + (-2x - 6) = y(x + 3) - 2(x + 3) = (y - 2)(x + 3)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в первую дробь:

$\frac{(x + 3)(x + 6)}{(y - 2)(x + 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+3)$ (при условии $x \ne -3$):

$\frac{x + 6}{y - 2}$

Теперь подставим упрощенную дробь обратно в исходное выражение:

$\frac{x + 6}{y - 2} - \frac{x + 5}{y - 2}$

Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому мы можем вычесть их числители:

$\frac{(x + 6) - (x + 5)}{y - 2} = \frac{x + 6 - x - 5}{y - 2} = \frac{1}{y - 2}$

Ответ: $\frac{1}{y - 2}$

125. Докажите тождество:

1) $\frac{a+3}{a^2-3a} + \frac{a-3}{3a+9} + \frac{12}{9-a^2} = \frac{a-3}{3a};$

2) $\frac{b-4}{2a-1} - \frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b+8a} = \frac{2}{2a-1}.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Первым шагом разложим знаменатели дробей на множители. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя третьей дроби.

$ \frac{a+3}{a^2-3a} + \frac{a-3}{3a+9} + \frac{12}{9-a^2} = \frac{a+3}{a(a-3)} + \frac{a-3}{3(a+3)} + \frac{12}{(3-a)(3+a)} $

Чтобы привести знаменатели к общему виду, вынесем $-1$ из скобки $(3-a)$ в знаменателе третьей дроби:

$ \frac{a+3}{a(a-3)} + \frac{a-3}{3(a+3)} - \frac{12}{(a-3)(a+3)} $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $3a(a-3)(a+3)$:

$ \frac{3(a+3)(a+3)}{3a(a-3)(a+3)} + \frac{a(a-3)(a-3)}{3a(a-3)(a+3)} - \frac{12 \cdot 3a}{3a(a-3)(a+3)} $

Запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$ \frac{3(a+3)^2 + a(a-3)^2 - 36a}{3a(a-3)(a+3)} = \frac{3(a^2+6a+9) + a(a^2-6a+9) - 36a}{3a(a-3)(a+3)} $

Упростим числитель:

$ \frac{3a^2+18a+27 + a^3-6a^2+9a - 36a}{3a(a-3)(a+3)} = \frac{a^3 - 3a^2 - 9a + 27}{3a(a-3)(a+3)} $

Разложим числитель на множители методом группировки:

$ a^3 - 3a^2 - 9a + 27 = a^2(a-3) - 9(a-3) = (a-3)(a^2-9) = (a-3)(a-3)(a+3) = (a-3)^2(a+3) $

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим:

$ \frac{(a-3)^2(a+3)}{3a(a-3)(a+3)} = \frac{a-3}{3a} $

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой части. Тождество доказано для всех $a$, при которых знаменатели исходных дробей не обращаются в ноль ($a \neq 0, a \neq \pm 3$).

Ответ: тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть. Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби.

Знаменатель $2ab-4-b+8a$ разложим методом группировки:

$ (2ab+8a) - (b+4) = 2a(b+4) - 1(b+4) = (2a-1)(b+4) $

Числитель $b^2-2b-24$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни по теореме Виета: произведение корней равно $-24$, а сумма равна $2$. Корни: $b_1=6$ и $b_2=-4$. Тогда разложение имеет вид:

$ b^2-2b-24 = (b-6)(b+4) $

Подставим разложения в исходное выражение:

$ \frac{b-4}{2a-1} - \frac{(b-6)(b+4)}{(2a-1)(b+4)} $

Сократим вторую дробь на общий множитель $(b+4)$, при условии, что $b+4 \neq 0$ (т.е. $b \neq -4$):

$ \frac{b-4}{2a-1} - \frac{b-6}{2a-1} $

Так как у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание числителей:

$ \frac{(b-4)-(b-6)}{2a-1} = \frac{b-4-b+6}{2a-1} = \frac{2}{2a-1} $

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна правой части. Тождество доказано для всех $a$ и $b$, при которых знаменатели исходных дробей не обращаются в ноль ($2a-1 \neq 0$ и $b+4 \neq 0$, то есть $a \neq \frac{1}{2}$ и $b \neq -4$).

Ответ: тождество доказано.

126. Докажите тождество:

$\frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} = 0$

Для того чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть равенства, приведя все дроби к общему знаменателю, и покажем, что она равна нулю.

Исходное выражение в левой части:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} $$

Для упрощения дальнейших вычислений, приведем множители в знаменателях к единому виду. Обратим внимание на знаменатель третьей дроби. Мы можем переписать его, используя тождества $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$:

$$ (c-a)(c-b) = \left(-(a-c)\right) \cdot \left(-(b-c)\right) = (a-c)(b-c) $$

Теперь подставим это преобразование в исходное выражение:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)} $$

Общим знаменателем для этих трех дробей является произведение $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(b-c)$, второй — на $(a-c)$, и третьей — на $(a-b)$:

$$ \frac{1 \cdot (b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{1 \cdot (a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)} $$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем выполнить сложение и вычитание их числителей:

$$ \frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} $$

Раскроем скобки в числителе и упростим полученное выражение:

$$ b - c - a + c + a - b = (a - a) + (b - b) + (c - c) = 0 + 0 + 0 = 0 $$

Поскольку числитель равен нулю, а знаменатель по определению не равен нулю (иначе исходное выражение не имело бы смысла), вся дробь равна нулю:

$$ \frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 0 $$

Таким образом, мы доказали, что левая часть тождества равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано. После приведения левой части к общему знаменателю и упрощения получается $ \frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{b - c - a + c + a - b}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 0 $.

127. Докажите тождество:

$\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, приведя все дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} $

Для удобства приведения к общему знаменателю преобразуем знаменатели второй и третьей дробей. Заметим, что $(b-a) = -(a-b)$, $(c-a) = -(a-c)$ и $(c-b) = -(b-c)$.
Второй член: $ \frac{ac}{(b-a)(b-c)} = \frac{ac}{-(a-b)(b-c)} = -\frac{ac}{(a-b)(b-c)} $
Третий член: $ \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = \frac{ab}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{ab}{(a-c)(b-c)} $

После преобразования левая часть тождества принимает вид:$ \frac{bc}{(a-b)(a-c)} - \frac{ac}{(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(a-c)(b-c)} $

Общим знаменателем является выражение $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем дроби к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:$ \frac{bc(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{ab(a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)} $

Запишем всё в виде одной дроби:$ \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} $

Раскроем скобки в числителе:$ bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b) = b^2c - bc^2 - (a^2c - ac^2) + a^2b - ab^2 = b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2 $

Для разложения числителя на множители сгруппируем слагаемые по степеням переменной $a$:$ (a^2b - a^2c) - (ab^2 - ac^2) + (b^2c - bc^2) = a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) $

Применим формулу разности квадратов $b^2-c^2 = (b-c)(b+c)$ и вынесем общий множитель $(b-c)$:$ a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c) = (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) $

Раскроем скобки внутри второго множителя и выполним группировку:$ (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) = (b-c)(a(a-b) - c(a-b)) $

Вынесем общий множитель $(a-b)$:$ (b-c)(a-b)(a-c) $

Таким образом, числитель равен $(a-b)(b-c)(a-c)$.

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:$ \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} $

При условии, что $a \neq b$, $b \neq c$ и $a \neq c$ (что необходимо для существования исходного выражения), мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:$ \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1 $

Мы показали, что левая часть тождества равна 1, что соответствует правой части.

Ответ: Тождество доказано.

128. Упростите выражение:

$ \frac{1}{(a-1)(a-2)} + \frac{1}{(a-2)(a-3)} + \frac{1}{(a-3)(a-4)} $

128. Чтобы упростить данное выражение, представим каждую из трех дробей в виде разности двух более простых дробей. Этот прием является частным случаем разложения на простейшие дроби и особенно эффективен для сумм такого типа, которые называются телескопическими.

Заметим, что для любой дроби вида $ \frac{1}{(x-1)x} $ справедливо равенство $ \frac{1}{(x-1)x} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} $. Проверим это тождество, приведя правую часть к общему знаменателю: $ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x-1)}{(x-1)x} = \frac{x-x+1}{(x-1)x} = \frac{1}{(x-1)x} $.

Применим этот подход к каждому слагаемому в исходном выражении.

1. Для первой дроби $ \frac{1}{(a-1)(a-2)} $, которая соответствует виду $ \frac{1}{(x-1)x} $ при $ x = a-1 $.
Следовательно, $ \frac{1}{(a-1)(a-2)} = \frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} $.

2. Для второй дроби $ \frac{1}{(a-2)(a-3)} $, где $ x = a-2 $.
Следовательно, $ \frac{1}{(a-2)(a-3)} = \frac{1}{a-3} - \frac{1}{a-2} $.

3. Для третьей дроби $ \frac{1}{(a-3)(a-4)} $, где $ x = a-3 $.
Следовательно, $ \frac{1}{(a-3)(a-4)} = \frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-3} $.

Теперь подставим полученные разности в исходную сумму:

$ \left(\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1}\right) + \left(\frac{1}{a-3} - \frac{1}{a-2}\right) + \left(\frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-3}\right) $

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть, как они взаимно уничтожаются:

$ \frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-3} + \frac{1}{a-3} - \frac{1}{a-2} + \frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} $

Промежуточные члены $ -\frac{1}{a-3} $ и $ +\frac{1}{a-3} $, а также $ -\frac{1}{a-2} $ и $ +\frac{1}{a-2} $ в сумме дают ноль и сокращаются. В результате остаются только крайние члены:

$ \frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-1} $

Приведем оставшиеся две дроби к общему знаменателю $ (a-4)(a-1) $:

$ \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-4)(a-1)} - \frac{1 \cdot (a-4)}{(a-1)(a-4)} = \frac{(a-1) - (a-4)}{(a-1)(a-4)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$ \frac{a - 1 - a + 4}{(a-1)(a-4)} = \frac{3}{(a-1)(a-4)} $

Ответ: $ \frac{3}{(a-1)(a-4)} $