Страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Упростите выражение $\frac{2m+1}{3m-2} - \frac{3m^2+m-2}{9m^2-12m+4}$

А) $\frac{1}{(3m-2)^2}$

Б) $\frac{1}{3m-2}$

В) $\frac{m}{(3m-2)^2}$

Г) $\frac{m}{3m-2}$

Чтобы упростить данное выражение, сначала приведем дроби к общему знаменателю. Для этого проанализируем знаменатели. Знаменатель второй дроби, $9m^2 - 12m + 4$, является полным квадратом разности, так как его можно представить в виде $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $9m^2 - 12m + 4 = (3m)^2 - 2 \cdot 3m \cdot 2 + 2^2 = (3m - 2)^2$.

Таким образом, общим знаменателем для двух дробей будет $(3m - 2)^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(3m - 2)$, чтобы привести ее к общему знаменателю: $$ \frac{2m+1}{3m-2} - \frac{3m^2+m-2}{(3m-2)^2} = \frac{(2m+1)(3m-2)}{(3m-2)^2} - \frac{3m^2+m-2}{(3m-2)^2} $$

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, выполним вычитание их числителей: $$ \frac{(2m+1)(3m-2) - (3m^2+m-2)}{(3m-2)^2} $$

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе. Сначала выполним умножение: $(2m+1)(3m-2) = 6m^2 - 4m + 3m - 2 = 6m^2 - m - 2$. Теперь подставим результат в числитель и приведем подобные слагаемые: $$ \frac{(6m^2 - m - 2) - (3m^2+m-2)}{(3m-2)^2} = \frac{6m^2 - m - 2 - 3m^2 - m + 2}{(3m-2)^2} = \frac{3m^2 - 2m}{(3m-2)^2} $$

В полученном числителе $3m^2 - 2m$ вынесем общий множитель $m$ за скобки. Затем сократим дробь на общий множитель $(3m - 2)$: $$ \frac{m(3m - 2)}{(3m - 2)^2} = \frac{m}{3m - 2} $$

Ответ: $\frac{m}{3m - 2}$

11. Упростите выражение $\frac{a-12}{a^2+4a} - \frac{a-4}{a} + \frac{a}{a+4}$.

А) $\frac{4}{a}$

Б) $\frac{1}{a}$

В) $a$

Г) $a+4$

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Исходное выражение: $ \frac{a-12}{a^2 + 4a} - \frac{a-4}{a} + \frac{a}{a+4} $.

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби: $ a^2 + 4a = a(a+4) $. Теперь выражение имеет вид: $ \frac{a-12}{a(a+4)} - \frac{a-4}{a} + \frac{a}{a+4} $.

Общим знаменателем для дробей со знаменателями $ a(a+4) $, $ a $ и $ a+4 $ является $ a(a+4) $. Приведем вторую и третью дроби к этому знаменателю, домножив их числители и знаменатели на соответствующие множители.

Для второй дроби дополнительный множитель $ (a+4) $: $ \frac{a-4}{a} = \frac{(a-4)(a+4)}{a(a+4)} = \frac{a^2 - 16}{a(a+4)} $.

Для третьей дроби дополнительный множитель $ a $: $ \frac{a}{a+4} = \frac{a \cdot a}{a(a+4)} = \frac{a^2}{a(a+4)} $.

Теперь выполним действия, объединив все под общим знаменателем: $ \frac{a-12}{a(a+4)} - \frac{a^2 - 16}{a(a+4)} + \frac{a^2}{a(a+4)} = \frac{(a-12) - (a^2 - 16) + a^2}{a(a+4)} $.

Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $ a - 12 - a^2 + 16 + a^2 = (-a^2 + a^2) + a + (-12 + 16) = a + 4 $.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $ \frac{a+4}{a(a+4)} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (a+4) $. Это действие корректно, так как область допустимых значений переменной исключает $ a = -4 $. $ \frac{1}{a} $.

Ответ: $ \frac{1}{a} $.

12. На каком рисунке изображён график функции $y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$?

А

В

Б

Г

Для того чтобы определить, какой график соответствует функции $y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$, проанализируем данную функцию.

1. Найдём область определения функции.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому мы должны исключить значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Это означает, что функция не определена в точке $x = 2$. На графике это будет отображено в виде выколотой точки (разрыва).

2. Упростим выражение для функции.

Обратим внимание на числитель дроби $x^2 - 4x + 4$. Это выражение является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

Теперь подставим это выражение обратно в исходную функцию:

$y = \frac{(x-2)^2}{x - 2}$

При условии, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-2)$:

$y = x - 2$

3. Проанализируем полученную функцию и её график.

Упрощенная функция $y = x - 2$ является линейной, и её график — это прямая линия. Однако мы должны помнить об ограничении $x \neq 2$. Таким образом, график исходной функции представляет собой прямую $y = x - 2$ с одной выколотой точкой.

Найдем координаты этой выколотой точки. Для этого подставим значение $x = 2$ в уравнение прямой $y = x - 2$:

$y = 2 - 2 = 0$

Следовательно, на графике должна быть выколота точка с координатами $(2, 0)$.

4. Сравним полученный результат с предложенными графиками.

Нам нужен график прямой $y = x - 2$, которая проходит через точку $(0, -2)$ (пересечение с осью $y$) и имеет выколотую точку в $(2, 0)$ (пересечение с осью $x$).

• График А изображает прямую $y = x + 2$. Это неверно.
• График В изображает прямую, которая пересекает ось $y$ в точке $-2$ и имеет выколотую точку в $(2, 0)$. Это полностью соответствует нашему анализу.
• График Б изображает прямую $y = x + 2$ с выколотой точкой. Это неверно.
• График Г изображает сплошную прямую $y = x - 2$ без выколотой точки. Это неверно, так как не учтена область определения функции ($x \neq 2$).

Таким образом, единственным верным является график, представленный на рисунке В.

Ответ: В