Номер 124, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 124, страница 30.
№124 (с. 30)
Условие. №124 (с. 30)
скриншот условия

124. Упростите выражение:
1) $ \frac{4b}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{a^2 + ab} + \frac{a + b}{b^2 - ab} $;
2) $ \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{x^2 + 4}{8x - 2x^3} $;
3) $ \frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{a^2 - 25b^2} + \frac{1}{(a + 5b)^2} $;
4) $ \frac{x^2 + 9x + 18}{xy + 3y - 2x - 6} - \frac{x + 5}{y - 2} $.
Решение 1. №124 (с. 30)




Решение 2. №124 (с. 30)

Решение 3. №124 (с. 30)

Решение 4. №124 (с. 30)

Решение 5. №124 (с. 30)


Решение 6. №124 (с. 30)


Решение 7. №124 (с. 30)

Решение 8. №124 (с. 30)
1) $\frac{4b}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{a^2 + ab} + \frac{a + b}{b^2 - ab}$
Сначала разложим на множители знаменатели каждой дроби. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и вынесение общего множителя за скобки.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
$a^2 + ab = a(a + b)$
$b^2 - ab = b(b - a) = -b(a - b)$
Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение. Обратим внимание, что в знаменателе третьей дроби мы вынесли минус за скобку, поэтому знак перед дробью изменится на противоположный.
$\frac{4b}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{a(a + b)} - \frac{a + b}{b(a - b)}$
Теперь найдем общий знаменатель. Он состоит из всех уникальных множителей в наибольшей степени, то есть $ab(a - b)(a + b)$. Приведем все дроби к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители.
$\frac{4b \cdot ab}{ab(a - b)(a + b)} + \frac{(a - b) \cdot b(a-b)}{ab(a - b)(a + b)} - \frac{(a + b) \cdot a(a+b)}{ab(a - b)(a + b)}$
Запишем все под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:
$\frac{4ab^2 + b(a^2 - 2ab + b^2) - a(a^2 + 2ab + b^2)}{ab(a - b)(a + b)}$
$\frac{4ab^2 + a^2b - 2ab^2 + b^3 - a^3 - 2a^2b - ab^2}{ab(a - b)(a + b)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$-a^3 + (a^2b - 2a^2b) + (4ab^2 - 2ab^2 - ab^2) + b^3 = -a^3 - a^2b + ab^2 + b^3$
Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители за скобки для дальнейшего упрощения:
$(-a^3 - a^2b) + (ab^2 + b^3) = -a^2(a + b) + b^2(a + b) = (b^2 - a^2)(a + b) = (b-a)(b+a)(a+b) = -(a-b)(a+b)^2$
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{-(a - b)(a + b)^2}{ab(a - b)(a + b)}$
Сократим общие множители $(a-b)$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{-(a + b)}{ab}$
Ответ: $-\frac{a+b}{ab}$
2) $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{x^2 + 4}{8x - 2x^3}$
Разложим на множители знаменатели дробей:
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
$8x - 2x^3 = 2x(4 - x^2) = 2x(2 - x)(2 + x) = -2x(x - 2)(x + 2)$
Перепишем выражение, подставив разложенные знаменатели и изменив знак у последней дроби:
$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x^2 + 4}{2x(x - 2)(x + 2)}$
Общий знаменатель: $2x(x - 2)(x + 2)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$\frac{1 \cdot 2x(x+2)}{2x(x - 2)(x + 2)} + \frac{1 \cdot 2x(x-2)}{2x(x - 2)(x + 2)} - \frac{x \cdot 2x}{2x(x - 2)(x + 2)} - \frac{x^2 + 4}{2x(x - 2)(x + 2)}$
Объединим дроби, записав все числители под общим знаменателем:
$\frac{2x(x+2) + 2x(x-2) - 2x^2 - (x^2 + 4)}{2x(x - 2)(x + 2)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x - 2x^2 - x^2 - 4}{2x(x^2 - 4)}$
$\frac{(2x^2 + 2x^2 - 2x^2 - x^2) + (4x - 4x) - 4}{2x(x^2 - 4)} = \frac{x^2 - 4}{2x(x^2 - 4)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x^2 - 4)$:
$\frac{1}{2x}$
Ответ: $\frac{1}{2x}$
3) $\frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{a^2 - 25b^2} + \frac{1}{(a + 5b)^2}$
Разложим на множители знаменатель средней дроби по формуле разности квадратов:
$a^2 - 25b^2 = a^2 - (5b)^2 = (a - 5b)(a + 5b)$
Выражение принимает вид:
$\frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{(a - 5b)(a + 5b)} + \frac{1}{(a + 5b)^2}$
Общий знаменатель для этих дробей будет $(a - 5b)^2(a + 5b)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1 \cdot (a+5b)^2}{(a - 5b)^2(a + 5b)^2} - \frac{2 \cdot (a-5b)(a+5b)}{(a - 5b)^2(a + 5b)^2} + \frac{1 \cdot (a-5b)^2}{(a - 5b)^2(a + 5b)^2}$
Объединим числители под общим знаменателем. Знаменатель можно записать как $( (a-5b)(a+5b) )^2 = (a^2-25b^2)^2$.
$\frac{(a+5b)^2 - 2(a^2 - 25b^2) + (a-5b)^2}{(a^2 - 25b^2)^2}$
Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$\frac{(a^2 + 10ab + 25b^2) - 2a^2 + 50b^2 + (a^2 - 10ab + 25b^2)}{(a^2 - 25b^2)^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(a^2 - 2a^2 + a^2) + (10ab - 10ab) + (25b^2 + 50b^2 + 25b^2) = 0 + 0 + 100b^2 = 100b^2$
В итоге получаем:
$\frac{100b^2}{(a^2 - 25b^2)^2}$
Ответ: $\frac{100b^2}{(a^2 - 25b^2)^2}$
4) $\frac{x^2 + 9x + 18}{xy + 3y - 2x - 6} - \frac{x + 5}{y - 2}$
Упростим первую дробь. Для этого разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель $x^2 + 9x + 18$ является квадратным трехчленом. По теореме Виета, его корни $x_1, x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -9$ и $x_1 \cdot x_2 = 18$. Подбором находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -6$.
Следовательно, $x^2 + 9x + 18 = (x - (-3))(x - (-6)) = (x + 3)(x + 6)$.
Знаменатель $xy + 3y - 2x - 6$ разложим на множители методом группировки:
$(xy + 3y) + (-2x - 6) = y(x + 3) - 2(x + 3) = (y - 2)(x + 3)$.
Подставим разложенные числитель и знаменатель в первую дробь:
$\frac{(x + 3)(x + 6)}{(y - 2)(x + 3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x+3)$ (при условии $x \ne -3$):
$\frac{x + 6}{y - 2}$
Теперь подставим упрощенную дробь обратно в исходное выражение:
$\frac{x + 6}{y - 2} - \frac{x + 5}{y - 2}$
Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому мы можем вычесть их числители:
$\frac{(x + 6) - (x + 5)}{y - 2} = \frac{x + 6 - x - 5}{y - 2} = \frac{1}{y - 2}$
Ответ: $\frac{1}{y - 2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 124 расположенного на странице 30 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №124 (с. 30), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.