Номер 124, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 124, страница 30.

Условие.

124. Упростите выражение:

1) $ \frac{4b}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{a^2 + ab} + \frac{a + b}{b^2 - ab} $;

2) $ \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{x^2 + 4}{8x - 2x^3} $;

3) $ \frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{a^2 - 25b^2} + \frac{1}{(a + 5b)^2} $;

4) $ \frac{x^2 + 9x + 18}{xy + 3y - 2x - 6} - \frac{x + 5}{y - 2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{4b}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{a^2 + ab} + \frac{a + b}{b^2 - ab}$

Сначала разложим на множители знаменатели каждой дроби. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и вынесение общего множителя за скобки.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$a^2 + ab = a(a + b)$

$b^2 - ab = b(b - a) = -b(a - b)$

Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение. Обратим внимание, что в знаменателе третьей дроби мы вынесли минус за скобку, поэтому знак перед дробью изменится на противоположный.

$\frac{4b}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{a(a + b)} - \frac{a + b}{b(a - b)}$

Теперь найдем общий знаменатель. Он состоит из всех уникальных множителей в наибольшей степени, то есть $ab(a - b)(a + b)$. Приведем все дроби к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители.

$\frac{4b \cdot ab}{ab(a - b)(a + b)} + \frac{(a - b) \cdot b(a-b)}{ab(a - b)(a + b)} - \frac{(a + b) \cdot a(a+b)}{ab(a - b)(a + b)}$

Запишем все под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$\frac{4ab^2 + b(a^2 - 2ab + b^2) - a(a^2 + 2ab + b^2)}{ab(a - b)(a + b)}$

$\frac{4ab^2 + a^2b - 2ab^2 + b^3 - a^3 - 2a^2b - ab^2}{ab(a - b)(a + b)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$-a^3 + (a^2b - 2a^2b) + (4ab^2 - 2ab^2 - ab^2) + b^3 = -a^3 - a^2b + ab^2 + b^3$

Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители за скобки для дальнейшего упрощения:

$(-a^3 - a^2b) + (ab^2 + b^3) = -a^2(a + b) + b^2(a + b) = (b^2 - a^2)(a + b) = (b-a)(b+a)(a+b) = -(a-b)(a+b)^2$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{-(a - b)(a + b)^2}{ab(a - b)(a + b)}$

Сократим общие множители $(a-b)$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-(a + b)}{ab}$

Ответ: $-\frac{a+b}{ab}$

2) $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{x^2 + 4}{8x - 2x^3}$

Разложим на множители знаменатели дробей:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$8x - 2x^3 = 2x(4 - x^2) = 2x(2 - x)(2 + x) = -2x(x - 2)(x + 2)$

Перепишем выражение, подставив разложенные знаменатели и изменив знак у последней дроби:

$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x^2 + 4}{2x(x - 2)(x + 2)}$

Общий знаменатель: $2x(x - 2)(x + 2)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$\frac{1 \cdot 2x(x+2)}{2x(x - 2)(x + 2)} + \frac{1 \cdot 2x(x-2)}{2x(x - 2)(x + 2)} - \frac{x \cdot 2x}{2x(x - 2)(x + 2)} - \frac{x^2 + 4}{2x(x - 2)(x + 2)}$

Объединим дроби, записав все числители под общим знаменателем:

$\frac{2x(x+2) + 2x(x-2) - 2x^2 - (x^2 + 4)}{2x(x - 2)(x + 2)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x - 2x^2 - x^2 - 4}{2x(x^2 - 4)}$

$\frac{(2x^2 + 2x^2 - 2x^2 - x^2) + (4x - 4x) - 4}{2x(x^2 - 4)} = \frac{x^2 - 4}{2x(x^2 - 4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^2 - 4)$:

$\frac{1}{2x}$

Ответ: $\frac{1}{2x}$

3) $\frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{a^2 - 25b^2} + \frac{1}{(a + 5b)^2}$

Разложим на множители знаменатель средней дроби по формуле разности квадратов:

$a^2 - 25b^2 = a^2 - (5b)^2 = (a - 5b)(a + 5b)$

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{(a - 5b)^2} - \frac{2}{(a - 5b)(a + 5b)} + \frac{1}{(a + 5b)^2}$

Общий знаменатель для этих дробей будет $(a - 5b)^2(a + 5b)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (a+5b)^2}{(a - 5b)^2(a + 5b)^2} - \frac{2 \cdot (a-5b)(a+5b)}{(a - 5b)^2(a + 5b)^2} + \frac{1 \cdot (a-5b)^2}{(a - 5b)^2(a + 5b)^2}$

Объединим числители под общим знаменателем. Знаменатель можно записать как $( (a-5b)(a+5b) )^2 = (a^2-25b^2)^2$.

$\frac{(a+5b)^2 - 2(a^2 - 25b^2) + (a-5b)^2}{(a^2 - 25b^2)^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$\frac{(a^2 + 10ab + 25b^2) - 2a^2 + 50b^2 + (a^2 - 10ab + 25b^2)}{(a^2 - 25b^2)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(a^2 - 2a^2 + a^2) + (10ab - 10ab) + (25b^2 + 50b^2 + 25b^2) = 0 + 0 + 100b^2 = 100b^2$

В итоге получаем:

$\frac{100b^2}{(a^2 - 25b^2)^2}$

Ответ: $\frac{100b^2}{(a^2 - 25b^2)^2}$

4) $\frac{x^2 + 9x + 18}{xy + 3y - 2x - 6} - \frac{x + 5}{y - 2}$

Упростим первую дробь. Для этого разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $x^2 + 9x + 18$ является квадратным трехчленом. По теореме Виета, его корни $x_1, x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -9$ и $x_1 \cdot x_2 = 18$. Подбором находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -6$.
Следовательно, $x^2 + 9x + 18 = (x - (-3))(x - (-6)) = (x + 3)(x + 6)$.

Знаменатель $xy + 3y - 2x - 6$ разложим на множители методом группировки:
$(xy + 3y) + (-2x - 6) = y(x + 3) - 2(x + 3) = (y - 2)(x + 3)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в первую дробь:

$\frac{(x + 3)(x + 6)}{(y - 2)(x + 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+3)$ (при условии $x \ne -3$):

$\frac{x + 6}{y - 2}$

Теперь подставим упрощенную дробь обратно в исходное выражение:

$\frac{x + 6}{y - 2} - \frac{x + 5}{y - 2}$

Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому мы можем вычесть их числители:

$\frac{(x + 6) - (x + 5)}{y - 2} = \frac{x + 6 - x - 5}{y - 2} = \frac{1}{y - 2}$

Ответ: $\frac{1}{y - 2}$