Номер 201, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Упражнения - номер 201, страница 47.

Условие.

201. Решите уравнение:

1) $\frac{2x+7}{4} = \frac{x+5}{3}$;

2) $x^2 + 6x = 0$;

3) $0,21x - 0,7x^2 = 0$;

4) $x^2 - 16 = 0$;

5) $25x^2 - 36 = 0$;

6) $x^2 + 4 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{2x + 7}{4} = \frac{x + 5}{3}$.

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся основным свойством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$3 \cdot (2x + 7) = 4 \cdot (x + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$6x + 21 = 4x + 20$

Теперь соберем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левой части уравнения, а числовые значения — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую меняем их знак на противоположный:

$6x - 4x = 20 - 21$

Приведем подобные слагаемые:

$2x = -1$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = -\frac{1}{2}$ или $x = -0.5$

Ответ: $-0.5$.

2)

Дано неполное квадратное уравнение: $x^2 + 6x = 0$.

Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 6) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

или

$x + 6 = 0$

Решаем второе простое уравнение:

$x = -6$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; -6$.

3)

Дано неполное квадратное уравнение: $0.21x - 0.7x^2 = 0$.

Вынесем за скобки общий множитель $x$:

$x(0.21 - 0.7x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $0.21 - 0.7x = 0$

Решим второе уравнение:

$0.7x = 0.21$

$x_2 = \frac{0.21}{0.7} = \frac{21}{70} = \frac{3}{10} = 0.3$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 0.3$.

4)

Дано неполное квадратное уравнение: $x^2 - 16 = 0$.

Способ 1: Изолирование $x^2$.

Перенесем постоянный член 16 в правую часть уравнения:

$x^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что корень имеет два значения — положительное и отрицательное:

$x = \pm\sqrt{16}$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Способ 2: Разность квадратов.

Можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x^2 - 4^2 = 0$

$(x - 4)(x + 4) = 0$

Это дает те же корни: $x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$ и $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$.

Ответ: $4; -4$.

5)

Дано неполное квадратное уравнение: $25x^2 - 36 = 0$.

Перенесем свободный член 36 в правую часть уравнения:

$25x^2 = 36$

Разделим обе части на коэффициент при $x^2$, то есть на 25:

$x^2 = \frac{36}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{36}{25}}$

$x = \pm\frac{6}{5}$

Переведем обыкновенные дроби в десятичные:

$x_1 = \frac{6}{5} = 1.2$, $x_2 = -\frac{6}{5} = -1.2$

Ответ: $1.2; -1.2$.

6)

Дано уравнение: $x^2 + 4 = 0$.

Перенесем свободный член 4 в правую часть уравнения:

$x^2 = -4$

В множестве действительных чисел квадрат любого числа ($x^2$) всегда является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$.

Поскольку левая часть уравнения ($x^2$) не может быть отрицательной, а правая часть (-4) отрицательна, данное равенство невозможно для любого действительного числа $x$.

Следовательно, уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет действительных корней.