Номер 200, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений. Глава 1. Рациональные выражения - номер 200, страница 47.

Условие.

200. (Из русского фольклора.) За 30 монет купили 30 птиц. Сколько купили птиц каждого вида, если за трёх воробьёв платили одну монету, за двух голубей — тоже одну монету, а за одну горлицу — две монеты, при этом купили хотя бы одну птичку каждого вида?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи введем переменные: пусть $x$ — количество купленных воробьёв, $y$ — количество купленных голубей, а $z$ — количество купленных горлиц.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений. Первое уравнение — общее количество птиц, которых всего 30:

$x + y + z = 30$

Теперь определим стоимость каждой птицы. Цена одного воробья составляет $\frac{1}{3}$ монеты (так как за трёх платили одну монету). Цена одного голубя — $\frac{1}{2}$ монеты (так как за двух платили одну монету). Цена одной горлицы — 2 монеты. Второе уравнение — общая стоимость всех птиц, которая равна 30 монетам:

$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + 2z = 30$

Для удобства вычислений избавимся от дробей во втором уравнении, умножив все его члены на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2):

$6 \cdot (\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + 2z) = 6 \cdot 30$

$2x + 3y + 12z = 180$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

$x + y + z = 30$

$2x + 3y + 12z = 180$

Также, по условию, было куплено хотя бы по одной птичке каждого вида, поэтому $x$, $y$, и $z$ должны быть натуральными числами ($x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$).

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 30 - y - z$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$2(30 - y - z) + 3y + 12z = 180$

$60 - 2y - 2z + 3y + 12z = 180$

Приведем подобные члены:

$y + 10z = 180 - 60$

$y + 10z = 120$

Теперь выразим $y$ через $z$:

$y = 120 - 10z$

Далее подставим полученное выражение для $y$ в формулу для $x$:

$x = 30 - (120 - 10z) - z$

$x = 30 - 120 + 10z - z$

$x = 9z - 90$

Теперь воспользуемся ограничениями, что $x$, $y$ и $z$ — натуральные числа. Из условия $x \ge 1$ следует:

$9z - 90 \ge 1 \implies 9z \ge 91 \implies z \ge \frac{91}{9} \approx 10.11$

Из условия $y \ge 1$ следует:

$120 - 10z \ge 1 \implies 119 \ge 10z \implies z \le 11.9$

Мы получили два неравенства для целого числа $z$: $z \ge 10.11$ и $z \le 11.9$. Единственное целое число, удовлетворяющее этим условиям, — это $z = 11$.

Теперь, зная $z$, найдем $x$ и $y$:

$x = 9z - 90 = 9(11) - 90 = 99 - 90 = 9$

$y = 120 - 10z = 120 - 10(11) = 120 - 110 = 10$

Итак, мы получили, что было куплено 9 воробьёв, 10 голубей и 11 горлиц.

Проверим полученное решение. Общее количество птиц: $9 + 10 + 11 = 30$. Общая стоимость: $9 \cdot (\frac{1}{3}) + 10 \cdot (\frac{1}{2}) + 11 \cdot 2 = 3 + 5 + 22 = 30$ монет. Все условия задачи выполнены.

Ответ: было куплено 9 воробьёв, 10 голубей и 11 горлиц.