Номер 1, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Вопросы - номер 1, страница 55.

Условие.

1. Какие два уравнения называют равносильными?

Решение 2.

Решение 8.

Равносильными (или эквивалентными) уравнениями называются два уравнения, множества решений (корней) которых полностью совпадают.

Это означает, что каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот — каждый корень второго уравнения является корнем первого. Важным частным случаем являются уравнения, которые не имеют корней. Если оба уравнения не имеют решений, их множества корней одинаковы (оба пусты), и такие уравнения также считаются равносильными.

Примеры

• Равносильные уравнения: $x + 2 = 5$ и $2x = 6$.
  Оба уравнения имеют единственный корень $x = 3$. Множества их решений совпадают: $\{3\}$.
• Равносильные уравнения без корней: $x^2 = -1$ и $x + 5 = x$.
  Первое уравнение не имеет действительных корней. Второе уравнение ($5=0$) также не имеет корней. Множества их решений пусты, а значит, совпадают.
• Неравносильные уравнения: $x^2 = 4$ и $x = 2$.
  У первого уравнения два корня, $x = 2$ и $x = -2$ (множество решений $\{-2, 2\}$), а у второго — только один корень $x=2$ (множество решений $\{2\}$). Поскольку множества решений не совпадают, уравнения не являются равносильными.

Равносильные преобразования

В процессе решения уравнений выполняют равносильные преобразования, которые заменяют исходное уравнение на более простое, но имеющее то же самое множество корней. Основные равносильные преобразования:

1. Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный.
   Например, уравнение $3x + 5 = 11$ равносильно уравнению $3x = 11 - 5$.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
   Например, уравнение $5x = 20$ равносильно уравнению $x = 4$ (в результате деления обеих частей на 5).
3. Применение тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т.д.) в левой или правой части уравнения, не изменяющее область допустимых значений (ОДЗ) переменной.
   Например, уравнение $2(x+3) - x = 10$ равносильно уравнению $x + 6 = 10$.

Ответ: Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые множества корней, либо если оба уравнения не имеют корней.