Номер 206, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 206, страница 56.

Условие.

206. Составьте уравнение, равносильное данному:

1) $2x - 3 = 4;$

2) $|x| = 1;$

3) $x + 6 = x - 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Равносильными называются уравнения, которые имеют одинаковые множества решений (корней). Чтобы составить уравнение, равносильное данному, можно либо найти корни исходного уравнения и составить новое с такими же корнями, либо выполнить над исходным уравнением равносильные преобразования (например, прибавить или вычесть из обеих частей одно и то же число, умножить или разделить обе части на одно и то же ненулевое число).

1) Дано уравнение $2x - 3 = 4$.
Сначала найдем его корень. Для этого выполним равносильные преобразования. Прибавим к обеим частям уравнения 3:
$2x - 3 + 3 = 4 + 3$
$2x = 7$
Теперь разделим обе части на 2:
$x = 3.5$
Корень исходного уравнения – $x = 3.5$. Любое уравнение, полученное в процессе решения (например, $2x = 7$), будет равносильно исходному, так как имеет тот же корень. Можно также составить и другое простое уравнение с этим же корнем, например $x - 3.5 = 0$.
Ответ: $2x = 7$.

2) Дано уравнение $|x| = 1$.
Это уравнение имеет два корня, так как есть два числа, модуль которых равен 1:
$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Нужно составить уравнение, которое имеет те же два корня. Простейшим таким уравнением является квадратное уравнение $x^2 = 1$. Действительно, извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x = 1$ и $x = -1$. Таким образом, множества решений уравнений $|x|=1$ и $x^2=1$ совпадают, а значит, они равносильны.
Ответ: $x^2 = 1$.

3) Дано уравнение $x + 6 = x - 2$.
Попробуем решить это уравнение. Перенесем слагаемое $x$ из правой части в левую, а число 6 из левой в правую, меняя их знаки:
$x - x = -2 - 6$
$0 \cdot x = -8$
$0 = -8$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение не имеет корней (решений нет). Следовательно, любое уравнение, которое также не имеет корней, будет ему равносильно. Например, можно составить уравнение, приводящее к другому очевидному противоречию, такое как $x = x + 1$. При попытке его решить мы получим $0 = 1$, что неверно.
Ответ: $x = x + 1$.