Номер 208, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 208, страница 56.

Условие.

208. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = 0;$

2) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = 0;$

3) $\frac{x + 7}{x - 7} - \frac{2x - 3}{x - 7} = 0;$

4) $\frac{10 - 3x}{x + 8} + \frac{5x + 6}{x + 8} = 0;$

5) $\frac{x - 6}{x - 2} - \frac{x - 8}{x} = 0;$

6) $\frac{2x - 4}{x} - \frac{3x + 1}{x} + \frac{x + 5}{x} = 0;$

7) $\frac{x}{x + 6} - \frac{36}{x^2 + 6x} = 0;$

8) $\frac{2x^2 + 3x + 1}{2x + 1} - x = 1;$

9) $\frac{4}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение: $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдём корни числителя, приравняв его к нулю:
$x^2 - 1 = 0$
Используя формулу разности квадратов, получаем: $(x - 1)(x + 1) = 0$.
Отсюда два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. Найдём область допустимых значений (ОДЗ), для этого знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 2x + 1 \neq 0$
Используя формулу квадрата разности, получаем: $(x - 1)^2 \neq 0$.
Это означает, что $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

3. Сравним корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $x \neq 1$.

Ответ: $x = -1$.

2) Дано уравнение: $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = 0$.
1. Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
Отсюда $x = 1$.

2. Найдём ОДЗ (знаменатель не равен нулю):
$x^2 - 1 \neq 0$
$(x - 1)(x + 1) \neq 0$
Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

3. Единственный возможный корень $x = 1$ не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

3) Дано уравнение: $\frac{x + 7}{x - 7} - \frac{2x - 3}{x - 7} = 0$.
Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем объединить их под общим знаменателем:
$\frac{(x + 7) - (2x - 3)}{x - 7} = 0$
$\frac{x + 7 - 2x + 3}{x - 7} = 0$
$\frac{10 - x}{x - 7} = 0$.

1. Числитель равен нулю:
$10 - x = 0$
$x = 10$.

2. Знаменатель не равен нулю (ОДЗ):
$x - 7 \neq 0$
$x \neq 7$.

3. Корень $x = 10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 10$.

4) Дано уравнение: $\frac{10 - 3x}{x + 8} + \frac{5x + 6}{x + 8} = 0$.
Объединим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{(10 - 3x) + (5x + 6)}{x + 8} = 0$
$\frac{10 - 3x + 5x + 6}{x + 8} = 0$
$\frac{2x + 16}{x + 8} = 0$.

1. Числитель равен нулю:
$2x + 16 = 0$
$2(x + 8) = 0$
$x = -8$.

2. Знаменатель не равен нулю (ОДЗ):
$x + 8 \neq 0$
$x \neq -8$.

3. Полученный корень $x = -8$ не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

5) Дано уравнение: $\frac{x - 6}{x - 2} - \frac{x - 8}{x} = 0$.
ОДЗ: $x - 2 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq 0$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 2)$:
$\frac{x(x - 6) - (x - 8)(x - 2)}{x(x - 2)} = 0$.

Приравняем числитель к нулю:
$x(x - 6) - (x - 8)(x - 2) = 0$
$x^2 - 6x - (x^2 - 2x - 8x + 16) = 0$
$x^2 - 6x - (x^2 - 10x + 16) = 0$
$x^2 - 6x - x^2 + 10x - 16 = 0$
$4x - 16 = 0$
$4x = 16$
$x = 4$.
Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq 0$).

Ответ: $x = 4$.

6) Дано уравнение: $\frac{2x - 4}{x} - \frac{3x + 1}{x} + \frac{x + 5}{x} = 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Так как знаменатель общий, объединим числители:
$\frac{(2x - 4) - (3x + 1) + (x + 5)}{x} = 0$
$\frac{2x - 4 - 3x - 1 + x + 5}{x} = 0$
$\frac{(2x - 3x + x) + (-4 - 1 + 5)}{x} = 0$
$\frac{0 \cdot x + 0}{x} = 0$
$\frac{0}{x} = 0$.
Это равенство верно для любого значения $x$, при котором знаменатель не равен нулю.
Учитывая ОДЗ ($x \neq 0$), решением является любое число, кроме 0.

Ответ: $x$ - любое число, кроме $0$.

7) Дано уравнение: $\frac{x}{x + 6} - \frac{36}{x^2 + 6x} = 0$.
Разложим знаменатель второй дроби на множители: $x^2 + 6x = x(x + 6)$.
Уравнение принимает вид: $\frac{x}{x + 6} - \frac{36}{x(x + 6)} = 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x + 6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.
Приведем к общему знаменателю $x(x + 6)$:
$\frac{x \cdot x - 36}{x(x + 6)} = 0$
$\frac{x^2 - 36}{x(x + 6)} = 0$.

Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 36 = 0$
$(x - 6)(x + 6) = 0$
$x_1 = 6$, $x_2 = -6$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условиям. Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -6$), поэтому является посторонним.

Ответ: $x = 6$.

8) Дано уравнение: $\frac{2x^2 + 3x + 1}{2x + 1} - x = 1$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{2x^2 + 3x + 1}{2x + 1} - x - 1 = 0$.
ОДЗ: $2x + 1 \neq 0 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -0.5$.
Приведем к общему знаменателю $(2x+1)$:
$\frac{2x^2 + 3x + 1 - x(2x + 1) - 1(2x + 1)}{2x + 1} = 0$
$\frac{2x^2 + 3x + 1 - (2x^2 + x) - (2x + 1)}{2x + 1} = 0$
$\frac{2x^2 + 3x + 1 - 2x^2 - x - 2x - 1}{2x + 1} = 0$
$\frac{(2x^2 - 2x^2) + (3x - x - 2x) + (1 - 1)}{2x + 1} = 0$
$\frac{0}{2x + 1} = 0$.
Данное равенство верно для всех $x$ из области допустимых значений.
Следовательно, решением является любое число, кроме $x = -0.5$.

Ответ: $x$ - любое число, кроме $-0,5$.

9) Дано уравнение: $\frac{4}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} = 1$.
Перенесем 1 в левую часть:
$\frac{4}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} - 1 = 0$.
ОДЗ: $x - 1 \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.
$\frac{4(x + 1) - 4(x - 1) - 1(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = 0$.

Приравняем числитель к нулю:
$4(x + 1) - 4(x - 1) - (x^2 - 1) = 0$
$4x + 4 - 4x + 4 - x^2 + 1 = 0$
$-x^2 + 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 1$).

Ответ: $x = -3; 3$.