Номер 209, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 209, страница 56.

Условие.

209. Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби $\frac{15}{19}$, чтобы получить дробь, равную $\frac{2}{3}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим искомое число через $x$. По условию задачи, мы должны вычесть это число из числителя и знаменателя дроби $\frac{15}{19}$ и в результате получить дробь $\frac{2}{3}$.

Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{15 - x}{19 - x} = \frac{2}{3}$

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся основным свойством пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов (или, проще говоря, "умножим крест-накрест"):

$3 \cdot (15 - x) = 2 \cdot (19 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив числа перед скобками на каждый член внутри скобок:

$3 \cdot 15 - 3 \cdot x = 2 \cdot 19 - 2 \cdot x$

$45 - 3x = 38 - 2x$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а все постоянные числа — в другой. Для этого перенесем $-3x$ в правую часть (знак изменится на "+"), а $38$ — в левую часть (знак изменится на "−"):

$45 - 38 = 3x - 2x$

Выполним вычитание в обеих частях:

$7 = x$

Таким образом, число, которое нужно вычесть, равно 7.

Сделаем проверку. Вычтем 7 из числителя и знаменателя исходной дроби:

Числитель: $15 - 7 = 8$

Знаменатель: $19 - 7 = 12$

Получилась дробь $\frac{8}{12}$. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$

Полученный результат соответствует условию задачи.

Ответ: 7.