Номер 213, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Упражнения - номер 213, страница 57.

Условие.

213. Решите уравнение:

1) $\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{5}{1 - x} = \frac{x^2 + 27}{x^2 - 1};$

2) $\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} = \frac{6}{1 - 9x^2};$

3) $\frac{4}{x - 3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x - 2};$

4) $\frac{2x^2 - 2x}{x^2 - 4} + \frac{6}{x + 2} = \frac{x + 2}{x - 2};$

5) $\frac{7}{x^2 + 2x} + \frac{x + 1}{x^2 - 2x} = \frac{x + 4}{x^2 - 4};$

6) $\frac{x^2 - 9x + 50}{x^2 - 5x} = \frac{x + 1}{x - 5} + \frac{x - 5}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{1-x} = \frac{x^2+27}{x^2-1}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:
$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$1-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
$x^2-1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$
ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Преобразуем уравнение, приведя все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $1-x = -(x-1)$ и $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
$\frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{-(x-1)} = \frac{x^2+27}{(x-1)(x+1)}$
$\frac{x-2}{x+1} + \frac{5}{x-1} = \frac{x^2+27}{(x-1)(x+1)}$

Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$(x-2)(x-1) + 5(x+1) = x^2+27$

Раскроем скобки и упростим:
$x^2 - x - 2x + 2 + 5x + 5 = x^2+27$
$x^2 + 2x + 7 = x^2+27$

Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону:
$x^2 - x^2 + 2x = 27 - 7$
$2x = 20$
$x = 10$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $10 \neq \pm 1$. Корень подходит.
Ответ: $10$.

2) $\frac{3x+1}{3x-1} - \frac{3x-1}{3x+1} = \frac{6}{1-9x^2}$

ОДЗ: $3x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}$; $3x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{3}$; $1-9x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq \frac{1}{9} \Rightarrow x \neq \pm\frac{1}{3}$.
ОДЗ: $x \neq \pm \frac{1}{3}$.

Преобразуем правую часть уравнения: $1-9x^2 = -(9x^2-1) = -(3x-1)(3x+1)$.
$\frac{3x+1}{3x-1} - \frac{3x-1}{3x+1} = \frac{6}{-(3x-1)(3x+1)}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(3x-1)(3x+1)$:
$\frac{(3x+1)^2 - (3x-1)^2}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{-6}{(3x-1)(3x+1)}$

Умножим обе части на знаменатель $(3x-1)(3x+1)$:
$(3x+1)^2 - (3x-1)^2 = -6$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$((3x+1) - (3x-1))((3x+1) + (3x-1)) = -6$
$(3x+1-3x+1)(3x+1+3x-1) = -6$
$(2)(6x) = -6$
$12x = -6$
$x = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

Проверим ОДЗ: $-\frac{1}{2} \neq \pm \frac{1}{3}$. Корень подходит.
Ответ: $-0,5$.

3) $\frac{4}{x-3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x-2}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$; $x \neq 0$; $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
ОДЗ: $x \neq 0; 2; 3$.

Перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю $x(x-3)(x-2)$:
$\frac{4}{x-3} + \frac{1}{x} - \frac{5}{x-2} = 0$
$\frac{4x(x-2) + 1(x-3)(x-2) - 5x(x-3)}{x(x-3)(x-2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ):
$4x(x-2) + (x-3)(x-2) - 5x(x-3) = 0$
$4x^2 - 8x + x^2 - 2x - 3x + 6 - 5x^2 + 15x = 0$

Сгруппируем подобные члены:
$(4x^2 + x^2 - 5x^2) + (-8x - 2x - 3x + 15x) + 6 = 0$
$0 \cdot x^2 + 2x + 6 = 0$
$2x = -6$
$x = -3$

Проверим ОДЗ: $-3 \neq 0; 2; 3$. Корень подходит.
Ответ: $-3$.

4) $\frac{2x^2-2x}{x^2-4} + \frac{6}{x+2} = \frac{x+2}{x-2}$

Разложим знаменатели на множители и определим ОДЗ:
$\frac{2x(x-1)}{(x-2)(x+2)} + \frac{6}{x+2} = \frac{x+2}{x-2}$
ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$. Умножим обе части на него:
$2x(x-1) + 6(x-2) = (x+2)(x+2)$
$2x^2 - 2x + 6x - 12 = (x+2)^2$
$2x^2 + 4x - 12 = x^2 + 4x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 - x^2 + 4x - 4x - 12 - 4 = 0$
$x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \neq \pm 2$ и $-4 \neq \pm 2$).
Ответ: $-4; 4$.

5) $\frac{7}{x^2+2x} + \frac{x+1}{x^2-2x} = \frac{x+4}{x^2-4}$

Разложим знаменатели на множители и определим ОДЗ:
$\frac{7}{x(x+2)} + \frac{x+1}{x(x-2)} = \frac{x+4}{(x-2)(x+2)}$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$, $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
ОДЗ: $x \neq 0; \pm 2$.

Общий знаменатель: $x(x-2)(x+2)$. Умножим обе части на него:
$7(x-2) + (x+1)(x+2) = x(x+4)$
$7x - 14 + x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 4x$
$x^2 + 10x - 12 = x^2 + 4x$

Перенесем члены:
$x^2 - x^2 + 10x - 4x = 12$
$6x = 12$
$x = 2$

Проверим корень по ОДЗ. Корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатели $x^2-2x$ и $x^2-4$ обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: корней нет.

6) $\frac{x^2-9x+50}{x^2-5x} = \frac{x+1}{x-5} + \frac{x-5}{x}$

Разложим знаменатели на множители и определим ОДЗ:
$\frac{x^2-9x+50}{x(x-5)} = \frac{x+1}{x-5} + \frac{x-5}{x}$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
ОДЗ: $x \neq 0; 5$.

Общий знаменатель: $x(x-5)$. Умножим обе части на него:
$x^2 - 9x + 50 = x(x+1) + (x-5)(x-5)$
$x^2 - 9x + 50 = x^2 + x + (x-5)^2$
$x^2 - 9x + 50 = x^2 + x + x^2 - 10x + 25$

Упростим правую часть:
$x^2 - 9x + 50 = 2x^2 - 9x + 25$

Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 2x^2 - x^2 - 9x + 9x + 25 - 50$
$0 = x^2 - 25$
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x=5$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 5$), это посторонний корень. Корень $x=-5$ удовлетворяет ОДЗ ($-5 \neq 0; 5$).
Ответ: $-5$.