Номер 219, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Глава 1. Рациональные выражения - номер 219, страница 58.

Условие.

219. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $\frac{x-1}{x-a} = 0;$

2) $\frac{x-a}{x+5} = 0;$

3) $\frac{a(x-a)}{x-3} = 0;$

4) $\frac{(x-a)(x-6)}{x-7} = 0;$

5) $\frac{(x-4)(x+2)}{x-a} = 0;$

6) $\frac{x-a}{(x-4)(x+2)} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решение уравнения $\frac{x-1}{x-a} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} x - 1 = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x=1$. Этот корень будет решением исходного уравнения, если он удовлетворяет второму условию системы: $1 - a \neq 0$, то есть $a \neq 1$.

Если же $a=1$, то корень числителя $x=1$ обращает знаменатель в ноль, поэтому в этом случае уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a=1$, то корней нет; если $a \neq 1$, то $x=1$.

2) Решение уравнения $\frac{x-a}{x+5} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} x - a = 0 \\ x + 5 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x=a$. Этот корень будет решением исходного уравнения, если он удовлетворяет второму условию системы: $a + 5 \neq 0$, то есть $a \neq -5$.

Если же $a=-5$, то корень числителя $x=-5$ обращает знаменатель в ноль, поэтому в этом случае уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a=-5$, то корней нет; если $a \neq -5$, то $x=a$.

3) Решение уравнения $\frac{a(x-a)}{x-3} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} a(x-a) = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим уравнение числителя $a(x-a)=0$. Оно имеет решение, если $a=0$ или $x-a=0$.

Случай 1: $a=0$. Уравнение принимает вид $\frac{0}{x-3} = 0$. Это равенство верно для любого $x$, удовлетворяющего области определения, то есть $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Случай 2: $a \neq 0$. Тогда из $a(x-a)=0$ следует $x-a=0$, то есть $x=a$. Этот корень является решением, если $a-3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$. Если $a=3$, то корень $x=3$ не входит в область определения, и решений нет.

Ответ: если $a=0$, то $x$ - любое число, кроме $3$; если $a=3$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 3$, то $x=a$.

4) Решение уравнения $\frac{(x-a)(x-6)}{x-7} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} (x-a)(x-6) = 0 \\ x - 7 \neq 0 \end{cases}$

Корни числителя: $x=a$ и $x=6$. Они будут решениями уравнения, если не обращают знаменатель в ноль, то есть не равны $7$.

Корень $x=6$ всегда является решением, так как $6 \neq 7$.

Корень $x=a$ является решением, только если $a \neq 7$.

Таким образом, если $a=7$, то корень $x=a$ не подходит, и единственным решением будет $x=6$.

Если $a \neq 7$, то оба значения ($x=a$ и $x=6$) являются корнями уравнения. (В частном случае, когда $a=6$, эти корни совпадают).

Ответ: если $a=7$, то $x=6$; если $a \neq 7$, то $x_1=a, x_2=6$.

5) Решение уравнения $\frac{(x-4)(x+2)}{x-a} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} (x-4)(x+2) = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$

Корни числителя: $x=4$ и $x=-2$. Они будут решениями уравнения, если не обращают знаменатель в ноль, то есть не равны $a$.

Случай 1: $a=4$. Корень $x=4$ не является решением. Остается только корень $x=-2$.

Случай 2: $a=-2$. Корень $x=-2$ не является решением. Остается только корень $x=4$.

Случай 3: $a \neq 4$ и $a \neq -2$. Оба корня, $x=4$ и $x=-2$, являются решениями.

Ответ: если $a=4$, то $x=-2$; если $a=-2$, то $x=4$; если $a \neq 4$ и $a \neq -2$, то $x_1=4, x_2=-2$.

6) Решение уравнения $\frac{x-a}{(x-4)(x+2)} = 0$ сводится к решению системы:

$\begin{cases} x-a=0 \\ (x-4)(x+2) \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x=a$. Второе условие системы означает, что $x \neq 4$ и $x \neq -2$.

Следовательно, $x=a$ будет решением только в том случае, если $a \neq 4$ и $a \neq -2$.

Если $a=4$ или $a=-2$, то корень числителя совпадает с одним из значений, при которых знаменатель равен нулю, поэтому в этих случаях уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a=4$ или $a=-2$, то корней нет; если $a \neq 4$ и $a \neq -2$, то $x=a$.