Номер 111, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 111, страница 28.

Условие.

111. Выполните действия:

1) $a - \frac{4}{a};$

2) $\frac{1}{x} + x - 2;$

3) $\frac{m}{n^3} - \frac{1}{n} + m;$

4) $\frac{2k^2}{k - 5} - k;$

5) $3n - \frac{9n^2 - 2}{3n};$

6) $5 - \frac{4y - 12}{y - 2};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы выполнить вычитание, приведем выражение к общему знаменателю $a$. Для этого представим $a$ в виде дроби $\frac{a}{1}$ и домножим ее числитель и знаменатель на $a$:

$a - \frac{4}{a} = \frac{a}{1} - \frac{4}{a} = \frac{a \cdot a}{1 \cdot a} - \frac{4}{a} = \frac{a^2}{a} - \frac{4}{a}$

Теперь вычтем дроби с одинаковыми знаменателями, объединив числители:

$\frac{a^2 - 4}{a}$

Ответ: $\frac{a^2 - 4}{a}$

2)

Чтобы выполнить действия, приведем все слагаемые к общему знаменателю $x$. Для этого представим $x$ как $\frac{x}{1}$ и $-2$ как $\frac{-2}{1}$:

$\frac{1}{x} + x - 2 = \frac{1}{x} + \frac{x}{1} - \frac{2}{1} = \frac{1}{x} + \frac{x \cdot x}{1 \cdot x} - \frac{2 \cdot x}{1 \cdot x} = \frac{1}{x} + \frac{x^2}{x} - \frac{2x}{x}$

Сложим и вычтем числители, оставив общий знаменатель без изменений, и упорядочим члены в числителе по убыванию степеней $x$:

$\frac{1 + x^2 - 2x}{x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x}$

Ответ: $\frac{x^2 - 2x + 1}{x}$

3)

Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{m}{n^3}$, $\frac{1}{n}$ и слагаемого $m$ (которое можно представить как $\frac{m}{1}$). Наименьшим общим знаменателем будет $n^3$.

Приведем все слагаемые к знаменателю $n^3$:

$\frac{m}{n^3} - \frac{1}{n} + m = \frac{m}{n^3} - \frac{1 \cdot n^2}{n \cdot n^2} + \frac{m \cdot n^3}{1 \cdot n^3} = \frac{m}{n^3} - \frac{n^2}{n^3} + \frac{mn^3}{n^3}$

Теперь выполним действия с числителями:

$\frac{m - n^2 + mn^3}{n^3}$

Ответ: $\frac{m - n^2 + mn^3}{n^3}$

4)

Общий знаменатель для данного выражения — $k-5$. Представим $k$ в виде дроби со знаменателем $k-5$:

$k = \frac{k}{1} = \frac{k(k-5)}{k-5} = \frac{k^2 - 5k}{k-5}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{2k^2}{k-5} - k = \frac{2k^2}{k-5} - \frac{k^2 - 5k}{k-5} = \frac{2k^2 - (k^2 - 5k)}{k-5}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2k^2 - k^2 + 5k}{k-5} = \frac{k^2 + 5k}{k-5}$

Ответ: $\frac{k^2 + 5k}{k-5}$

5)

Приведем выражение к общему знаменателю $3n$. Для этого умножим $3n$ на дробь $\frac{3n}{3n}$:

$3n - \frac{9n^2 - 2}{3n} = \frac{3n \cdot 3n}{3n} - \frac{9n^2 - 2}{3n} = \frac{9n^2}{3n} - \frac{9n^2 - 2}{3n}$

Выполним вычитание дробей. Знак минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю:

$\frac{9n^2 - (9n^2 - 2)}{3n} = \frac{9n^2 - 9n^2 + 2}{3n}$

Упростим числитель:

$\frac{2}{3n}$

Ответ: $\frac{2}{3n}$

6)

Общий знаменатель — $y-2$. Приведем число 5 к этому знаменателю:

$5 = \frac{5}{1} = \frac{5(y-2)}{y-2} = \frac{5y - 10}{y-2}$

Теперь вычтем дроби:

$5 - \frac{4y-12}{y-2} = \frac{5y - 10}{y-2} - \frac{4y-12}{y-2}$

Объединим числители под общим знаменателем, раскрыв скобки с учетом знака минус:

$\frac{(5y - 10) - (4y - 12)}{y-2} = \frac{5y - 10 - 4y + 12}{y-2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(5y - 4y) + (-10 + 12)}{y-2} = \frac{y+2}{y-2}$

Ответ: $\frac{y+2}{y-2}$