Номер 112, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 112, страница 28.

Условие.

112. Упростите выражение:

1) $ \frac{a^2 + 1}{a^2 - 2a + 1} + \frac{a + 1}{a - 1} $

2) $ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{a - b}{a + b} $

3) $ \frac{c + 7}{c - 7} + \frac{28c}{49 - c^2} $

4) $ \frac{5a + 3}{2a^2 + 6a} + \frac{6 - 3a}{a^2 - 9} $

5) $ \frac{a}{a^2 - 4a + 4} - \frac{a + 4}{a^2 - 4} $

6) $ \frac{2p}{p - 5} - \frac{5}{p + 5} + \frac{2p^2}{25 - p^2} $

7) $ \frac{1}{y} - \frac{y + 8}{16 - y^2} - \frac{2}{y - 4} $

8) $ \frac{2b - 1}{4b + 2} + \frac{4b}{4b^2 - 1} + \frac{2b + 1}{3 - 6b} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2+1}{a^2-2a+1} + \frac{a+1}{a-1} $, сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $ a^2-2a+1 $ является полным квадратом $ (a-1)^2 $. Общий знаменатель для дробей — $ (a-1)^2 $.
Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (a-1) $:
$ \frac{a+1}{a-1} = \frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)(a-1)} = \frac{a^2-1}{(a-1)^2} $
Теперь сложим дроби:
$ \frac{a^2+1}{(a-1)^2} + \frac{a^2-1}{(a-1)^2} = \frac{a^2+1+a^2-1}{(a-1)^2} = \frac{2a^2}{(a-1)^2} $
Ответ: $ \frac{2a^2}{(a-1)^2} $

2) Рассмотрим выражение $ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a-b}{a+b} $. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $. Это и будет общий знаменатель.
Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (a-b) $:
$ \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2} $
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a^2+b^2)-(a^2-2ab+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2-a^2+2ab-b^2}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2} $
Ответ: $ \frac{2ab}{a^2-b^2} $

3) Упростим $ \frac{c+7}{c-7} + \frac{28c}{49-c^2} $. Знаменатель второй дроби $ 49-c^2 $ можно записать как $ -(c^2-49) = -(c-7)(c+7) $. Изменим знак перед второй дробью:
$ \frac{c+7}{c-7} - \frac{28c}{c^2-49} = \frac{c+7}{c-7} - \frac{28c}{(c-7)(c+7)} $
Общий знаменатель — $ (c-7)(c+7) $. Приведем первую дробь к общему знаменателю:
$ \frac{(c+7)(c+7)}{(c-7)(c+7)} - \frac{28c}{(c-7)(c+7)} = \frac{(c+7)^2 - 28c}{(c-7)(c+7)} = \frac{c^2+14c+49-28c}{c^2-49} = \frac{c^2-14c+49}{c^2-49} $
Числитель $ c^2-14c+49 $ является полным квадратом $ (c-7)^2 $.
$ \frac{(c-7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{c-7}{c+7} $
Ответ: $ \frac{c-7}{c+7} $

4) Упростим выражение $ \frac{5a+3}{2a^2+6a} + \frac{6-3a}{a^2-9} $. Разложим знаменатели на множители:
$ 2a^2+6a = 2a(a+3) $
$ a^2-9 = (a-3)(a+3) $
Общий знаменатель $ 2a(a-3)(a+3) $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{(5a+3)(a-3)}{2a(a+3)(a-3)} + \frac{(6-3a)(2a)}{(a-3)(a+3)(2a)} = \frac{5a^2-15a+3a-9+12a-6a^2}{2a(a-3)(a+3)} $
Упростим числитель:
$ 5a^2-12a-9+12a-6a^2 = -a^2-9 = -(a^2+9) $
Получаем дробь:
$ \frac{-(a^2+9)}{2a(a-3)(a+3)} = -\frac{a^2+9}{2a(a^2-9)} $
Ответ: $ -\frac{a^2+9}{2a(a^2-9)} $

5) Упростим $ \frac{a}{a^2-4a+4} - \frac{a+4}{a^2-4} $. Разложим знаменатели на множители:
$ a^2-4a+4 = (a-2)^2 $
$ a^2-4 = (a-2)(a+2) $
Общий знаменатель $ (a-2)^2(a+2) $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{a(a+2)}{(a-2)^2(a+2)} - \frac{(a+4)(a-2)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{a(a+2)-(a+4)(a-2)}{(a-2)^2(a+2)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{a^2+2a-(a^2-2a+4a-8)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{a^2+2a-(a^2+2a-8)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{a^2+2a-a^2-2a+8}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{8}{(a-2)^2(a+2)} $
Ответ: $ \frac{8}{(a-2)^2(a+2)} $

6) Упростим $ \frac{2p}{p-5} - \frac{5}{p+5} + \frac{2p^2}{25-p^2} $. Знаменатель третьей дроби $ 25-p^2 = -(p^2-25) = -(p-5)(p+5) $. Изменим знак перед дробью:
$ \frac{2p}{p-5} - \frac{5}{p+5} - \frac{2p^2}{p^2-25} = \frac{2p}{p-5} - \frac{5}{p+5} - \frac{2p^2}{(p-5)(p+5)} $
Общий знаменатель $ (p-5)(p+5) $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{2p(p+5)}{(p-5)(p+5)} - \frac{5(p-5)}{(p-5)(p+5)} - \frac{2p^2}{(p-5)(p+5)} = \frac{2p(p+5)-5(p-5)-2p^2}{(p-5)(p+5)} $
Упростим числитель:
$ \frac{2p^2+10p-5p+25-2p^2}{p^2-25} = \frac{5p+25}{p^2-25} $
Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:
$ \frac{5(p+5)}{(p-5)(p+5)} = \frac{5}{p-5} $
Ответ: $ \frac{5}{p-5} $

7) Упростим $ \frac{1}{y} - \frac{y+8}{16-y^2} - \frac{2}{y-4} $. Преобразуем знаменатель второй дроби: $ 16-y^2 = -(y^2-16) $. Изменим знаки:
$ \frac{1}{y} - \frac{y+8}{-(y^2-16)} - \frac{2}{y-4} = \frac{1}{y} + \frac{y+8}{y^2-16} - \frac{2}{y-4} = \frac{1}{y} + \frac{y+8}{(y-4)(y+4)} - \frac{2}{y-4} $
Общий знаменатель $ y(y-4)(y+4) $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{(y-4)(y+4)}{y(y-4)(y+4)} + \frac{y(y+8)}{y(y-4)(y+4)} - \frac{2y(y+4)}{y(y-4)(y+4)} = \frac{y^2-16+y^2+8y-2y^2-8y}{y(y^2-16)} $
Упростим числитель:
$ \frac{(y^2+y^2-2y^2) + (8y-8y) - 16}{y(y^2-16)} = \frac{-16}{y(y^2-16)} $
Ответ: $ -\frac{16}{y(y^2-16)} $

8) Упростим $ \frac{2b-1}{4b+2} + \frac{4b}{4b^2-1} + \frac{2b+1}{3-6b} $. Разложим знаменатели на множители:
$ 4b+2 = 2(2b+1) $
$ 4b^2-1 = (2b-1)(2b+1) $
$ 3-6b = 3(1-2b) = -3(2b-1) $
Перепишем выражение, изменив знак последней дроби:
$ \frac{2b-1}{2(2b+1)} + \frac{4b}{(2b-1)(2b+1)} - \frac{2b+1}{3(2b-1)} $
Общий знаменатель $ 6(2b-1)(2b+1) $. Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{3(2b-1)(2b-1)}{6(2b-1)(2b+1)} + \frac{6 \cdot 4b}{6(2b-1)(2b+1)} - \frac{2(2b+1)(2b+1)}{6(2b-1)(2b+1)} = \frac{3(2b-1)^2+24b-2(2b+1)^2}{6(4b^2-1)} $
Упростим числитель:
$ \frac{3(4b^2-4b+1)+24b-2(4b^2+4b+1)}{6(4b^2-1)} = \frac{12b^2-12b+3+24b-8b^2-8b-2}{6(4b^2-1)} = \frac{4b^2+4b+1}{6(4b^2-1)} $
Числитель $ 4b^2+4b+1 $ является полным квадратом $ (2b+1)^2 $.
$ \frac{(2b+1)^2}{6(2b-1)(2b+1)} = \frac{2b+1}{6(2b-1)} $
Ответ: $ \frac{2b+1}{6(2b-1)} $