Номер 105, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 105, страница 27.

Условие.

105. Выполните действия:

1) $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)};$

2) $\frac{4}{b} - \frac{8}{b(b+2)};$

3) $\frac{x}{5(x+7)} - \frac{x}{6(x+7)};$

4) $\frac{4n+2}{3(n-1)} - \frac{5n+3}{4(n-1)};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{a(a+b)}$ и $\frac{1}{b(a+b)}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для данных дробей - это $ab(a+b)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $b$, а для второй - $a$.

$\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)} = \frac{1 \cdot b}{ab(a+b)} + \frac{1 \cdot a}{ab(a+b)} = \frac{b+a}{ab(a+b)}$

Теперь можно сократить числитель и знаменатель на общий множитель $(a+b)$:

$\frac{a+b}{ab(a+b)} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

2) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{4}{b} - \frac{8}{b(b+2)}$, приведем их к общему знаменателю, который равен $b(b+2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $(b+2)$. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{4}{b} - \frac{8}{b(b+2)} = \frac{4(b+2)}{b(b+2)} - \frac{8}{b(b+2)} = \frac{4(b+2) - 8}{b(b+2)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{4b + 8 - 8}{b(b+2)} = \frac{4b}{b(b+2)}$

Сократим дробь на $b$:

$\frac{4}{b+2}$

Ответ: $\frac{4}{b+2}$

3) Для вычитания дробей $\frac{x}{5(x+7)} - \frac{x}{6(x+7)}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $5(x+7)$ и $6(x+7)$ будет $30(x+7)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $6$, для второй - $5$.

$\frac{x}{5(x+7)} - \frac{x}{6(x+7)} = \frac{6x}{30(x+7)} - \frac{5x}{30(x+7)} = \frac{6x-5x}{30(x+7)}$

Упростим числитель:

$\frac{x}{30(x+7)}$

Ответ: $\frac{x}{30(x+7)}$

4) Выполним вычитание дробей $\frac{4n+2}{3(n-1)} - \frac{5n+3}{4(n-1)}$. Общий знаменатель для них - $12(n-1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби - $4$, для второй - $3$.

$\frac{4(4n+2)}{12(n-1)} - \frac{3(5n+3)}{12(n-1)} = \frac{4(4n+2) - 3(5n+3)}{12(n-1)}$

Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак "минус" перед второй дробью меняет знаки в ее числителе.

$\frac{16n + 8 - (15n + 9)}{12(n-1)} = \frac{16n + 8 - 15n - 9}{12(n-1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(16n - 15n) + (8 - 9)}{12(n-1)} = \frac{n-1}{12(n-1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(n-1)$:

$\frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$