Номер 99, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 99, страница 26.

Условие.

99. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{x}{8} - \frac{y}{12}$;

2) $\frac{4a}{7} + \frac{a}{4}$;

3) $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$;

4) $\frac{x^2}{2y} + \frac{y}{8x}$;

5) $\frac{7}{cd} + \frac{k}{cp}$;

6) $\frac{6a}{35c^5} - \frac{9b}{14c^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы вычесть дроби $\frac{x}{8}$ и $\frac{y}{12}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 12 — это 24.
Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 8 = 3$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 12 = 2$.
Получаем:
$\frac{x}{8} - \frac{y}{12} = \frac{3 \cdot x}{3 \cdot 8} - \frac{2 \cdot y}{2 \cdot 12} = \frac{3x}{24} - \frac{2y}{24} = \frac{3x - 2y}{24}$.
Ответ: $\frac{3x - 2y}{24}$

2) Для сложения дробей $\frac{4a}{7}$ и $\frac{a}{4}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 7 и 4 — это $7 \cdot 4 = 28$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $28 \div 7 = 4$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $28 \div 4 = 7$.
Выполним сложение:
$\frac{4a}{7} + \frac{a}{4} = \frac{4 \cdot 4a}{4 \cdot 7} + \frac{7 \cdot a}{7 \cdot 4} = \frac{16a}{28} + \frac{7a}{28} = \frac{16a + 7a}{28} = \frac{23a}{28}$.
Ответ: $\frac{23a}{28}$

3) Чтобы выполнить вычитание $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$, приведем дроби к общему знаменателю $mn$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $m$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $n$.
Получаем:
$\frac{m}{n} - \frac{n}{m} = \frac{m \cdot m}{m \cdot n} - \frac{n \cdot n}{n \cdot m} = \frac{m^2}{mn} - \frac{n^2}{mn} = \frac{m^2 - n^2}{mn}$.
Ответ: $\frac{m^2 - n^2}{mn}$

4) Для сложения дробей $\frac{x^2}{2y}$ и $\frac{y}{8x}$ найдем наименьший общий знаменатель.
Для чисел 2 и 8 наименьшее общее кратное — 8.
Для переменных $y$ и $x$ — это $xy$.
Таким образом, общий знаменатель — $8xy$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $8xy \div (2y) = 4x$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $8xy \div (8x) = y$.
Выполним сложение:
$\frac{x^2}{2y} + \frac{y}{8x} = \frac{4x \cdot x^2}{4x \cdot 2y} + \frac{y \cdot y}{y \cdot 8x} = \frac{4x^3}{8xy} + \frac{y^2}{8xy} = \frac{4x^3 + y^2}{8xy}$.
Ответ: $\frac{4x^3 + y^2}{8xy}$

5) Для сложения дробей $\frac{7}{cd}$ и $\frac{k}{cp}$ найдем общий знаменатель. Он равен $cdp$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $p$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $d$.
Получаем:
$\frac{7}{cd} + \frac{k}{cp} = \frac{7 \cdot p}{cd \cdot p} + \frac{k \cdot d}{cp \cdot d} = \frac{7p}{cdp} + \frac{kd}{cdp} = \frac{7p + kd}{cdp}$.
Ответ: $\frac{7p + kd}{cdp}$

6) Чтобы вычесть дроби $\frac{6a}{35c^5}$ и $\frac{9b}{14c^2}$, найдем наименьший общий знаменатель.
Наименьшее общее кратное для чисел 35 и 14: $35 = 5 \cdot 7$, $14 = 2 \cdot 7$. НОК(35, 14) = $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.
Для степеней переменной $c$ ($c^5$ и $c^2$) берем старшую степень: $c^5$.
Общий знаменатель: $70c^5$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $70c^5 \div (35c^5) = 2$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $70c^5 \div (14c^2) = 5c^3$.
Выполним вычитание:
$\frac{6a}{35c^5} - \frac{9b}{14c^2} = \frac{2 \cdot 6a}{2 \cdot 35c^5} - \frac{5c^3 \cdot 9b}{5c^3 \cdot 14c^2} = \frac{12a}{70c^5} - \frac{45bc^3}{70c^5} = \frac{12a - 45bc^3}{70c^5}$.
Ответ: $\frac{12a - 45bc^3}{70c^5}$