Номер 2, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Вопросы - номер 2, страница 26.

Условие.

2. Что является суммой и разностью двух рациональных дробей?

Решение 2.

Решение 8.

Рациональной дробью называется выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — это многочлены, причем многочлен $Q$ не равен нулю.

Чтобы определить, что является суммой и разностью двух рациональных дробей, рассмотрим две дроби в общем виде: $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$. Здесь $A$, $B$, $C$ и $D$ — многочлены, причем знаменатели $B$ и $D$ не являются нулевыми многочленами.

Сумма рациональных дробей

Для сложения дробей их нужно привести к общему знаменателю. Простейшим общим знаменателем является произведение исходных знаменателей, то есть $B \cdot D$. Для этого числитель и знаменатель первой дроби домножаются на $D$, а второй — на $B$. Формула сложения выглядит следующим образом:

$$ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D} + \frac{C \cdot B}{B \cdot D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D} $$

Проанализируем результат. Числитель полученной дроби, $A \cdot D + C \cdot B$, является многочленом, так как и произведение, и сумма многочленов всегда дают в результате многочлен. Знаменатель, $B \cdot D$, также является многочленом. Поскольку $B$ и $D$ — ненулевые многочлены, их произведение $B \cdot D$ также не равно нулю. Таким образом, сумма двух рациональных дробей — это дробь, у которой и числитель, и знаменатель являются многочленами, то есть это рациональная дробь.

Разность рациональных дробей

Вычитание дробей выполняется по аналогии со сложением, с приведением к тому же общему знаменателю $B \cdot D$:

$$ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D} - \frac{C \cdot B}{B \cdot D} = \frac{A \cdot D - C \cdot B}{B \cdot D} $$

Проанализируем этот результат. Числитель $A \cdot D - C \cdot B$ является многочленом, поскольку многочлены замкнуты относительно операций умножения и вычитания. Знаменатель $B \cdot D$ — это тот же самый ненулевой многочлен. Следовательно, разность двух рациональных дробей также всегда является рациональной дробью.

Ответ: Суммой и разностью двух рациональных дробей является рациональная дробь.