Номер 101, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 101, страница 26.

Условие.

101. Выполните сложение или вычитание дробей:

1) $ \frac{9 - 5b}{b} - \frac{7 - 5c}{c} $;

2) $ \frac{4d + 7}{7d} - \frac{d - 6}{6d} $;

3) $ \frac{5 - k}{5p} - \frac{p + 10}{5k} $;

4) $ \frac{m - n}{mn} - \frac{p - n}{np} $;

5) $ \frac{6a + 2}{ab} - \frac{2a + 4}{a^2b} $;

6) $ \frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c - 9}{c^5} $;

7) $ \frac{1}{x^3} - \frac{1 + x^2}{x^5} $;

8) $ \frac{1 - ab}{abc} - \frac{1 - ad}{acd} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{9 - 5b}{b} - \frac{7 - 5c}{c}$

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $b$ и $c$ — это их произведение $bc$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $b$.

$\frac{9 - 5b}{b} - \frac{7 - 5c}{c} = \frac{c(9 - 5b)}{bc} - \frac{b(7 - 5c)}{bc} = \frac{9c - 5bc}{bc} - \frac{7b - 5bc}{bc}$

Теперь вычтем числители, а знаменатель оставим прежним:

$\frac{(9c - 5bc) - (7b - 5bc)}{bc} = \frac{9c - 5bc - 7b + 5bc}{bc} = \frac{9c - 7b}{bc}$

Ответ: $\frac{9c - 7b}{bc}$

2) $\frac{4d + 7}{7d} - \frac{d - 6}{6d}$

Найдем наименьший общий знаменатель для $7d$ и $6d$. Наименьшее общее кратное для чисел 7 и 6 равно 42. Значит, общий знаменатель будет $42d$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $6$, для второй — $7$.

$\frac{6(4d + 7)}{42d} - \frac{7(d - 6)}{42d} = \frac{24d + 42}{42d} - \frac{7d - 42}{42d}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(24d + 42) - (7d - 42)}{42d} = \frac{24d + 42 - 7d + 42}{42d} = \frac{(24d - 7d) + (42 + 42)}{42d} = \frac{17d + 84}{42d}$

Ответ: $\frac{17d + 84}{42d}$

3) $\frac{5 - k}{5p} - \frac{p + 10}{5k}$

Общий знаменатель для $5p$ и $5k$ равен $5pk$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $k$, для второй — $p$.

$\frac{k(5 - k)}{5pk} - \frac{p(p + 10)}{5pk} = \frac{5k - k^2}{5pk} - \frac{p^2 + 10p}{5pk}$

Вычтем числители:

$\frac{5k - k^2 - (p^2 + 10p)}{5pk} = \frac{5k - k^2 - p^2 - 10p}{5pk}$

Ответ: $\frac{5k - k^2 - p^2 - 10p}{5pk}$

4) $\frac{m - n}{mn} - \frac{p - n}{np}$

Общий знаменатель для $mn$ и $np$ равен $mnp$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $p$, для второй — $m$.

$\frac{p(m - n)}{mnp} - \frac{m(p - n)}{mnp} = \frac{mp - np}{mnp} - \frac{mp - mn}{mnp}$

Вычтем числители:

$\frac{(mp - np) - (mp - mn)}{mnp} = \frac{mp - np - mp + mn}{mnp} = \frac{mn - np}{mnp}$

Вынесем общий множитель $n$ в числителе за скобки и сократим дробь:

$\frac{n(m - p)}{mnp} = \frac{m - p}{mp}$

Ответ: $\frac{m - p}{mp}$

5) $\frac{6a + 2}{ab} - \frac{2a + 4}{a^2b}$

Общий знаменатель для $ab$ и $a^2b$ равен $a^2b$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, вторая дробь уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{a(6a + 2)}{a^2b} - \frac{2a + 4}{a^2b} = \frac{6a^2 + 2a}{a^2b} - \frac{2a + 4}{a^2b}$

Вычтем числители:

$\frac{(6a^2 + 2a) - (2a + 4)}{a^2b} = \frac{6a^2 + 2a - 2a - 4}{a^2b} = \frac{6a^2 - 4}{a^2b}$

Можно вынести общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(3a^2 - 2)}{a^2b}$

Ответ: $\frac{2(3a^2 - 2)}{a^2b}$

6) $\frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c - 9}{c^5}$

Общий знаменатель для $c^6$ и $c^5$ равен $c^6$.

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Дополнительный множитель для второй дроби — $c$.

$\frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c(c - 9)}{c^6} = \frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c^2 - 9c}{c^6}$

Вычтем числители:

$\frac{(c^2 - 16) - (c^2 - 9c)}{c^6} = \frac{c^2 - 16 - c^2 + 9c}{c^6} = \frac{9c - 16}{c^6}$

Ответ: $\frac{9c - 16}{c^6}$

7) $\frac{1}{x^3} - \frac{1 + x^2}{x^5}$

Общий знаменатель для $x^3$ и $x^5$ равен $x^5$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $x^2$.

$\frac{1 \cdot x^2}{x^3 \cdot x^2} - \frac{1 + x^2}{x^5} = \frac{x^2}{x^5} - \frac{1 + x^2}{x^5}$

Вычтем числители:

$\frac{x^2 - (1 + x^2)}{x^5} = \frac{x^2 - 1 - x^2}{x^5} = \frac{-1}{x^5} = -\frac{1}{x^5}$

Ответ: $-\frac{1}{x^5}$

8) $\frac{1 - ab}{abc} - \frac{1 - ad}{acd}$

Общий знаменатель для $abc$ и $acd$ равен $abcd$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $d$, для второй — $b$.

$\frac{d(1 - ab)}{abcd} - \frac{b(1 - ad)}{abcd} = \frac{d - abd}{abcd} - \frac{b - abd}{abcd}$

Вычтем числители:

$\frac{(d - abd) - (b - abd)}{abcd} = \frac{d - abd - b + abd}{abcd} = \frac{d - b}{abcd}$

Ответ: $\frac{d - b}{abcd}$