Номер 93, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 93, страница 23.

Условие.

93. Докажите, что выражение $(a+4)(a-8)+4(2a+9)$ при всех значениях $a$ принимает неотрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что данное выражение принимает неотрицательные значения при всех значениях переменной a, мы сначала упростим его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(a + 4)(a - 8) + 4(2a + 9)$.

1. Раскроем скобки в произведении $(a + 4)(a - 8)$:

$(a + 4)(a - 8) = a \cdot a + a \cdot (-8) + 4 \cdot a + 4 \cdot (-8) = a^2 - 8a + 4a - 32 = a^2 - 4a - 32$.

2. Раскроем скобки во втором слагаемом $4(2a + 9)$:

$4(2a + 9) = 4 \cdot 2a + 4 \cdot 9 = 8a + 36$.

3. Теперь сложим результаты и упростим полученное выражение:

$(a^2 - 4a - 32) + (8a + 36) = a^2 - 4a - 32 + 8a + 36$.

4. Приведем подобные члены:

$a^2 + (-4a + 8a) + (-32 + 36) = a^2 + 4a + 4$.

Полученное выражение $a^2 + 4a + 4$ представляет собой формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=2$.

Таким образом, мы можем свернуть выражение в полный квадрат:

$a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a + 2)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть большим или равным нулю. Следовательно, $(a + 2)^2 \ge 0$ при любом значении a.

Это доказывает, что исходное выражение $(a + 4)(a - 8) + 4(2a + 9)$ всегда принимает неотрицательные значения.

Ответ: После упрощения исходное выражение приводится к виду $(a + 2)^2$. Поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным (то есть, $(a + 2)^2 \ge 0$ для любого a), утверждение доказано.