Номер 90, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 90, страница 23.

Условие.

90. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:

1) $\frac{8n - 9}{n}$;

2) $\frac{n^2 + 2n - 8}{n}$;

3) $\frac{9n - 4}{3n - 5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы значение выражения $\frac{8n-9}{n}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель $8n-9$ делился на знаменатель $n$ без остатка. Преобразуем данное выражение, разделив его почленно:
$\frac{8n-9}{n} = \frac{8n}{n} - \frac{9}{n} = 8 - \frac{9}{n}$
Выражение $8 - \frac{9}{n}$ является целым числом, если $\frac{9}{n}$ является целым числом, так как 8 — целое число. Это возможно только тогда, когда $n$ является делителем числа 9. Поскольку по условию $n$ — натуральное число, нам нужно найти все натуральные делители числа 9. Натуральные делители числа 9: 1, 3, 9. Следовательно, искомые значения $n$ — это 1, 3, 9.
Ответ: 1, 3, 9.

2) Рассмотрим выражение $\frac{n^2+2n-8}{n}$. Чтобы его значение было целым числом, преобразуем его, разделив почленно:
$\frac{n^2+2n-8}{n} = \frac{n^2}{n} + \frac{2n}{n} - \frac{8}{n} = n + 2 - \frac{8}{n}$
Поскольку $n$ — натуральное число, то $n+2$ всегда будет целым числом. Для того чтобы все выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{8}{n}$ также была целым числом. Это выполняется, если $n$ является натуральным делителем числа 8. Натуральные делители числа 8: 1, 2, 4, 8. Таким образом, искомые значения $n$ — это 1, 2, 4, 8.
Ответ: 1, 2, 4, 8.

3) Рассмотрим выражение $\frac{9n-4}{3n-5}$. Для того чтобы найти натуральные $n$, при которых это выражение является целым числом, выделим целую часть дроби. Для этого представим числитель через знаменатель:
$9n - 4 = 3 \cdot (3n) - 4 = 3 \cdot (3n - 5 + 5) - 4 = 3(3n-5) + 3 \cdot 5 - 4 = 3(3n-5) + 15 - 4 = 3(3n-5) + 11$
Теперь подставим это в исходную дробь:
$\frac{9n-4}{3n-5} = \frac{3(3n-5) + 11}{3n-5} = \frac{3(3n-5)}{3n-5} + \frac{11}{3n-5} = 3 + \frac{11}{3n-5}$
Выражение будет целым, если дробь $\frac{11}{3n-5}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $3n-5$ является делителем числа 11. Делители числа 11: 1, -1, 11, -11. Рассмотрим каждый случай для натурального $n$:
1) $3n - 5 = 1 \implies 3n = 6 \implies n = 2$. Число 2 является натуральным.
2) $3n - 5 = 11 \implies 3n = 16 \implies n = \frac{16}{3}$. Не является натуральным числом.
3) $3n - 5 = -1 \implies 3n = 4 \implies n = \frac{4}{3}$. Не является натуральным числом.
4) $3n - 5 = -11 \implies 3n = -6 \implies n = -2$. Не является натуральным числом.
Единственное натуральное значение $n$, которое удовлетворяет условию, — это $n=2$.
Ответ: 2.