Номер 85, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 85, страница 23.

Условие.

85. Представьте данную дробь в виде суммы или разности целого и дробного выражения:

1) $ \frac{x+3}{x} $;

2) $ \frac{a^2 - 2a - 5}{a - 2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы представить дробь $\frac{x+3}{x}$ в виде суммы целого и дробного выражений, разделим почленно каждый член числителя на знаменатель. Это возможно, так как в числителе находится сумма.

$\frac{x+3}{x} = \frac{x}{x} + \frac{3}{x}$

При условии, что $x \neq 0$, выражение $\frac{x}{x}$ равно $1$. Таким образом, мы получаем сумму целого числа и дробного выражения:

$1 + \frac{3}{x}$

Ответ: $1 + \frac{3}{x}$

2) Чтобы представить дробь $\frac{a^2 - 2a - 5}{a-2}$ в виде суммы или разности, нужно выделить целую часть. Это можно сделать путем деления многочлена в числителе на многочлен в знаменателе (например, "уголком") или путем преобразования числителя.

Воспользуемся вторым способом. Преобразуем числитель так, чтобы в нем появилось выражение, равное знаменателю $(a-2)$.

$a^2 - 2a - 5 = (a^2 - 2a) - 5 = a(a-2) - 5$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь и разделим ее на две части:

$\frac{a(a-2) - 5}{a-2} = \frac{a(a-2)}{a-2} - \frac{5}{a-2}$

При условии, что $a-2 \neq 0$ (то есть $a \neq 2$), мы можем сократить первую дробь:

$a - \frac{5}{a-2}$

В результате мы представили исходную дробь в виде разности целого выражения $a$ и дробного выражения $\frac{5}{a-2}$.

Ответ: $a - \frac{5}{a-2}$