Номер 79, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 79, страница 22.

Условие.

79. Упростите выражение:

1) $\frac{x^2 - 16x}{(x - 7)^4} + \frac{2x + 49}{(7 - x)^4}$;

2) $\frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{(6 - y)(2 + y)}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \frac{x^2 - 16x}{(x - 7)^4} + \frac{2x + 49}{(7 - x)^4} $

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели дробей связаны соотношением $(7 - x) = -(x - 7)$. Поскольку степень четная (4), то $(7 - x)^4 = (-(x - 7))^4 = (-1)^4 \cdot (x - 7)^4 = (x - 7)^4$.

Знаменатели дробей равны. Следовательно, мы можем сложить их числители:

$ \frac{x^2 - 16x}{(x - 7)^4} + \frac{2x + 49}{(x - 7)^4} = \frac{(x^2 - 16x) + (2x + 49)}{(x - 7)^4} = \frac{x^2 - 14x + 49}{(x - 7)^4} $

Теперь рассмотрим числитель $x^2 - 14x + 49$. Это выражение является полным квадратом разности, так как оно соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, где $a = x$ и $b = 7$.

$ x^2 - 14x + 49 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x - 7)^2 $

Подставим полученное выражение обратно в дробь и сократим ее, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ \frac{(x - 7)^2}{(x - 7)^4} = (x - 7)^{2-4} = (x - 7)^{-2} = \frac{1}{(x - 7)^2} $

Ответ: $ \frac{1}{(x - 7)^2} $

2) $ \frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{(6 - y)(2 + y)} $

Приведем дроби к общему знаменателю. Обратим внимание на знаменатель второй дроби. Множитель $(6 - y)$ можно представить как $-(y - 6)$, а множитель $(2+y)$ равен $(y+2)$.

Таким образом, знаменатель второй дроби равен: $(6 - y)(2 + y) = -(y - 6)(y + 2)$.

Перепишем исходное выражение, вынеся знак "минус" из знаменателя второй дроби перед всей дробью:

$ \frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{-(y - 6)(y + 2)} = \frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} - \frac{y + 36}{(y - 6)(y + 2)} $

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание числителей:

$ \frac{(y^2 + y) - (y + 36)}{(y - 6)(y + 2)} = \frac{y^2 + y - y - 36}{(y - 6)(y + 2)} = \frac{y^2 - 36}{(y - 6)(y + 2)} $

Числитель $y^2 - 36$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$ y^2 - 36 = y^2 - 6^2 = (y - 6)(y + 6) $

Подставим разложенный числитель в дробь и сократим общий множитель $(y - 6)$:

$ \frac{(y - 6)(y + 6)}{(y - 6)(y + 2)} = \frac{y + 6}{y + 2} $

Ответ: $ \frac{y + 6}{y + 2} $