Номер 77, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 77, страница 22.

Условие.

77. Упростите выражение:

1) $\frac{6a-1}{16a-8} + \frac{4a-7}{16a-8} + \frac{-2a-2}{8-16a}$

2) $\frac{2a^2+12a}{a^2-25} + \frac{8a-9}{25-a^2} - \frac{a^2+14a-16}{a^2-25}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{6a - 1}{16a - 8} + \frac{4a - 7}{16a - 8} + \frac{-2a - 2}{8 - 16a}$, приведем все дроби к общему знаменателю.
Знаменатели первой и второй дробей совпадают: $16a - 8$.
Знаменатель третьей дроби: $8 - 16a$. Вынесем за скобки $-1$: $8 - 16a = -(16a - 8)$.
Теперь преобразуем третью дробь, изменив знак перед ней:
$\frac{-2a - 2}{8 - 16a} = \frac{-2a - 2}{-(16a - 8)} = -\frac{-2a - 2}{16a - 8}$
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{6a - 1}{16a - 8} + \frac{4a - 7}{16a - 8} - \frac{-2a - 2}{16a - 8}$
Так как знаменатели одинаковы, выполним действия с числителями:
$\frac{(6a - 1) + (4a - 7) - (-2a - 2)}{16a - 8} = \frac{6a - 1 + 4a - 7 + 2a + 2}{16a - 8}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(6a + 4a + 2a) + (-1 - 7 + 2)}{16a - 8} = \frac{12a - 6}{16a - 8}$
Теперь разложим на множители числитель и знаменатель, чтобы сократить дробь:
В числителе вынесем за скобки 6: $12a - 6 = 6(2a - 1)$.
В знаменателе вынесем за скобки 8: $16a - 8 = 8(2a - 1)$.
Получим:
$\frac{6(2a - 1)}{8(2a - 1)}$
Сократим общий множитель $(2a - 1)$:
$\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
Упрощение возможно при условии, что $16a - 8 \neq 0$, то есть $a \neq \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) Упростим выражение $\frac{2a^2 + 12a}{a^2 - 25} + \frac{8a - 9}{25 - a^2} - \frac{a^2 + 14a - 16}{a^2 - 25}$.
Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $25 - a^2$ можно представить как $-(a^2 - 25)$.
Преобразуем вторую дробь:
$\frac{8a - 9}{25 - a^2} = \frac{8a - 9}{-(a^2 - 25)} = -\frac{8a - 9}{a^2 - 25}$
Подставим преобразованную дробь в исходное выражение:
$\frac{2a^2 + 12a}{a^2 - 25} - \frac{8a - 9}{a^2 - 25} - \frac{a^2 + 14a - 16}{a^2 - 25}$
Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, выполним действия с числителями:
$\frac{(2a^2 + 12a) - (8a - 9) - (a^2 + 14a - 16)}{a^2 - 25}$
Раскроем скобки в числителе, меняя знаки там, где это необходимо:
$\frac{2a^2 + 12a - 8a + 9 - a^2 - 14a + 16}{a^2 - 25}$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{(2a^2 - a^2) + (12a - 8a - 14a) + (9 + 16)}{a^2 - 25} = \frac{a^2 - 10a + 25}{a^2 - 25}$
Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это формула квадрата разности, а знаменатель — формула разности квадратов.
$a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$
$a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(a - 5)^2}{(a - 5)(a + 5)}$
Сократим общий множитель $(a - 5)$:
$\frac{a - 5}{a + 5}$
Упрощение возможно при условии, что $a^2 - 25 \neq 0$, то есть $a \neq 5$ и $a \neq -5$.

Ответ: $\frac{a - 5}{a + 5}$