Номер 71, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 71, страница 21.

Условие.

71. Упростите выражение:

1) $\frac{c^2}{c-9} - \frac{81}{c-9};$

2) $\frac{a^2}{(a-6)^2} - \frac{36}{(a-6)^2};$

3) $\frac{3x+5}{x^2-4} - \frac{2x+7}{x^2-4};$

4) $\frac{y^2}{y-2} - \frac{4y-4}{y-2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{c^2}{c - 9} - \frac{81}{c - 9}$, выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого вычтем их числители, а знаменатель оставим прежним:
$\frac{c^2 - 81}{c - 9}$
Числитель $c^2 - 81$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$c^2 - 81 = c^2 - 9^2 = (c - 9)(c + 9)$
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(c - 9)(c + 9)}{c - 9}$
Сократим дробь на общий множитель $(c - 9)$:
$c + 9$
Ответ: $c + 9$.

2) Дано выражение $\frac{a^2}{(a - 6)^2} - \frac{36}{(a - 6)^2}$. Так как знаменатели дробей одинаковы, объединим их в одну дробь:
$\frac{a^2 - 36}{(a - 6)^2}$
В числителе находится разность квадратов $a^2 - 36 = a^2 - 6^2$, которую раскладываем на множители:
$a^2 - 36 = (a - 6)(a + 6)$
Подставим это в нашу дробь:
$\frac{(a - 6)(a + 6)}{(a - 6)^2}$
Сократим общий множитель $(a - 6)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{a + 6}{a - 6}$
Ответ: $\frac{a + 6}{a - 6}$.

3) Упростим выражение $\frac{3x + 5}{x^2 - 4} - \frac{2x + 7}{x^2 - 4}$. Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$\frac{(3x + 5) - (2x + 7)}{x^2 - 4}$
Раскроем скобки в числителе, меняя знаки у второго выражения на противоположные:
$\frac{3x + 5 - 2x - 7}{x^2 - 4}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(3x - 2x) + (5 - 7)}{x^2 - 4} = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$
Знаменатель $x^2 - 4$ является разностью квадратов, разложим его на множители:
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)}$
Сократим дробь на $(x - 2)$:
$\frac{1}{x + 2}$
Ответ: $\frac{1}{x + 2}$.

4) Рассмотрим выражение $\frac{y^2}{y - 2} - \frac{4y - 4}{y - 2}$. Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{y^2 - (4y - 4)}{y - 2}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{y^2 - 4y + 4}{y - 2}$
Числитель $y^2 - 4y + 4$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$:
$y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y - 2)^2$
Подставим свернутый числитель в дробь:
$\frac{(y - 2)^2}{y - 2}$
Сократим дробь на общий множитель $(y - 2)$:
$y - 2$
Ответ: $y - 2$.