Номер 2, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Вопросы - номер 2, страница 21.

Условие.

2. Как вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями?

Решение 2.

Решение 8.

Вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями — это алгебраическая операция, которая выполняется по аналогии с вычитанием обыкновенных дробей.

Правило

Чтобы найти разность двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычесть числитель второй дроби (вычитаемого), а знаменатель оставить без изменений.

В виде формулы это правило выглядит следующим образом:
$\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$
где $A$, $B$ и $C$ — многочлены, причем знаменатель $C$ не должен быть равен нулю ($C \neq 0$).

Пошаговый алгоритм вычитания:

1. Убедиться, что знаменатели вычитаемых дробей идентичны.
2. Сформировать новую дробь, оставив общий знаменатель прежним.
3. В числитель новой дроби записать разность числителей исходных дробей. Крайне важно: числитель вычитаемой дроби (второй дроби) следует взять в скобки, особенно если он состоит более чем из одного члена. Это поможет избежать ошибок со знаками при дальнейшем упрощении.
4. Раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые.
5. Если полученная дробь является сократимой, выполнить сокращение. Для этого нужно разложить числитель и знаменатель на множители и разделить их на общий множитель.

Пример

Найдем разность дробей $\frac{x^2+9}{x-3} - \frac{6x}{x-3}$.

1. Знаменатели дробей одинаковы и равны $x-3$.

2. Согласно правилу, вычитаем из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставляем тем же:
$\frac{x^2+9 - 6x}{x-3}$

3. Упорядочим слагаемые в числителе, чтобы получить стандартный вид квадратного трехчлена:
$\frac{x^2 - 6x + 9}{x-3}$

4. Заметим, что выражение в числителе является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

5. Подставим разложенный на множители числитель обратно в дробь и выполним сокращение (при условии, что $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$):
$\frac{(x-3)^2}{x-3} = x-3$

Таким образом, результатом вычитания является выражение $x-3$.

Ответ: Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений. Формула операции: $\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$.