Номер 64, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 64, страница 19.

Условие.

64. Какое наименьшее значение и при каких значениях $a$ и $b$ принимает выражение $(a - 2)(a + 2) + 4b(b - a)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти наименьшее значение выражения и значения переменных, при которых оно достигается, преобразуем данное выражение.

Исходное выражение: $(a - 2)(a + 2) + 4b(b - a)$.

Сначала раскроем скобки. Первый член $(a - 2)(a + 2)$ является формулой разности квадратов, а во втором члене $4b(b - a)$ выполним умножение:

$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

$4b(b - a) = 4b^2 - 4ab$

Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$(a^2 - 4) + (4b^2 - 4ab) = a^2 - 4ab + 4b^2 - 4$.

Сгруппируем члены этого выражения, чтобы выделить полный квадрат. Обратим внимание на группу слагаемых $a^2 - 4ab + 4b^2$. Она представляет собой полный квадрат разности:

$a^2 - 4ab + 4b^2 = (a)^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a - 2b)^2$.

Таким образом, все выражение можно переписать в следующем виде:

$(a - 2b)^2 - 4$.

Теперь проанализируем полученное выражение. Слагаемое $(a - 2b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше или равно нулю:

$(a - 2b)^2 \ge 0$.

Наименьшее значение, которое может принять $(a - 2b)^2$, равно 0. Это минимальное значение достигается, когда выражение в скобках равно нулю:

$a - 2b = 0 \implies a = 2b$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения достигается при условии $a = 2b$ и равно:

$E_{min} = 0 - 4 = -4$.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно $-4$. Оно принимается при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a = 2b$.