Номер 60, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 60, страница 18.

Условие.

60. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $ax = 1;$

2) $ax = a;$

3) $(a - 6)x = a^2 - 12a + 36;$

4) $(a^2 - 4)x = a - 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Рассмотрим уравнение $ax = 1$. Это линейное уравнение относительно переменной $x$. Его решение зависит от значения параметра $a$.

Случай 1: $a \neq 0$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $a$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{a}$

Случай 2: $a = 0$.

Подставим $a = 0$ в уравнение:

$0 \cdot x = 1$

$0 = 1$

Полученное равенство является неверным, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = 0$, то корней нет; если $a \neq 0$, то $x = \frac{1}{a}$.

2)

Рассмотрим уравнение $ax = a$.

Случай 1: $a \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $a$:

$x = \frac{a}{a}$

$x = 1$

Случай 2: $a = 0$.

Подставим $a = 0$ в уравнение:

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Полученное равенство является верным для любого значения $x$.

Ответ: если $a = 0$, то $x$ - любое число; если $a \neq 0$, то $x = 1$.

3)

Рассмотрим уравнение $(a - 6)x = a^2 - 12a + 36$.

Заметим, что правая часть уравнения является полным квадратом: $a^2 - 12a + 36 = (a - 6)^2$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(a - 6)x = (a - 6)^2$

Решение зависит от коэффициента при $x$, то есть от выражения $(a - 6)$.

Случай 1: $a - 6 \neq 0$, то есть $a \neq 6$.

Разделим обе части уравнения на $(a - 6)$:

$x = \frac{(a-6)^2}{a-6}$

$x = a - 6$

Случай 2: $a - 6 = 0$, то есть $a = 6$.

Подставим $a = 6$ в уравнение:

$(6 - 6)x = (6 - 6)^2$

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$.

Ответ: если $a = 6$, то $x$ - любое число; если $a \neq 6$, то $x = a - 6$.

4)

Рассмотрим уравнение $(a^2 - 4)x = a - 2$.

Разложим на множители коэффициент при $x$, используя формулу разности квадратов: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

Уравнение принимает вид:

$(a - 2)(a + 2)x = a - 2$

Решение зависит от коэффициента при $x$, который обращается в ноль при $a=2$ и $a=-2$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a^2 - 4 \neq 0$, то есть $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a^2 - 4)$:

$x = \frac{a - 2}{a^2 - 4} = \frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)}$

Поскольку $a \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(a-2)$:

$x = \frac{1}{a + 2}$

Случай 2: $a = 2$.

Подставим $a = 2$ в исходное уравнение:

$(2^2 - 4)x = 2 - 2$

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$.

Случай 3: $a = -2$.

Подставим $a = -2$ в исходное уравнение:

$((-2)^2 - 4)x = -2 - 2$

$(4 - 4)x = -4$

$0 \cdot x = -4$

$0 = -4$

Это равенство неверно, следовательно, при $a=-2$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = 2$, то $x$ - любое число; если $a = -2$, то корней нет; если $a \neq 2$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{1}{a + 2}$.